Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo:
, com .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa esboçar a região de integração definida pelas duas desigualdades e . Isso significa que estamos lidando com duas circunferências de raio 1: uma centrada na origem (0,0) e outra centrada em (1,0). O conteúdo que vamos utilizar é cálculo em coordenadas polares, que é muito útil para integrar sobre regiões circulares. Vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e identificar os limites de integração adequados para e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos duas circunferências:
  1. — centrada na origem.
  2. — centrada em (1,0).
Quando a gente desenha essas duas circunferências, percebe que elas se intersectam. O ponto de interseção pode ser encontrado resolvendo o sistema de equações, mas como vamos usar coordenadas polares, vamos focar em expressar as equações em termos de e .

Passo 3

Em coordenadas polares, temos as relações:
Vamos reescrever as equações das circunferências em coordenadas polares:
Expandindo a segunda equação:
Como :
Então, ou . Como , ignoramos .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de . As duas circunferências se intersectam quando e se encontram:
Isso acontece quando .
Então, varia de a .
Para nesse intervalo, vai de a (a circunferência deslocada).
Fora desse intervalo, ou seja, para de a e de a , vai de a (a circunferência centrada na origem).

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes com base nos intervalos de :
  1. Para de a :
  1. Para de a e de a :
Assim, nossa integral dupla fica:

Passo 6

Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeira parte:
Integrando em :
Então, a primeira parte fica:
Fazendo a substituição , :
Porque .
Segunda e terceira partes são simétricas e também cancelam, resultando em zero.

Resposta

A integral dupla sobre a região é igual a zero.

Exercícios relacionados

Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo:
, com .
(a) Determine as quantidades a seguir, se existirem.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(b) Esboce o gráfico de .
Prove que o conjunto dos números naturais primos é infinito e enumerável.
Seja . Mostre que é finito, se e somente se, existir uma bijeção de sobre um conjunto finito .