Esboce a região de integração R e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre R em cada item abaixo:
integral dupla y d A, com R=(x, y): x^2+y^2 <= 1,(x-1)^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa esboçar a região de integração definida pelas duas desigualdades e . Isso significa que estamos lidando com duas circunferências de raio 1: uma centrada na origem (0,0) e outra centrada em (1,0). O conteúdo que vamos utilizar é cálculo em coordenadas polares, que é muito útil para integrar sobre regiões circulares. Vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e identificar os limites de integração adequados para e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos duas circunferências:
  1. — centrada na origem.
  2. — centrada em (1,0).
Quando a gente desenha essas duas circunferências, percebe que elas se intersectam. O ponto de interseção pode ser encontrado resolvendo o sistema de equações, mas como vamos usar coordenadas polares, vamos focar em expressar as equações em termos de e .

Passo 3

Em coordenadas polares, temos as relações:
x = r cos theta
y = r sin theta
dA = r , dr , dtheta
Vamos reescrever as equações das circunferências em coordenadas polares:
  1. r^2 cos^2 theta - 2 r cos theta + 1 + r^2 sin^2 theta = 1 r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - 2 r cos theta + 1 = 1
  2. r^2 - 2 r cos theta + 1 = 1
Expandindo a segunda equação:
r^2 - 2 r cos theta = 0
r (r - 2 cos theta) = 0
Como :
Então, ou . Como , ignoramos .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de 1 = 2 cos theta . As duas circunferências se intersectam quando cos theta = 12 e se encontram:
Isso acontece quando .
Então, varia de a .
Para nesse intervalo, vai de a (a circunferência deslocada).
Fora desse intervalo, ou seja, para de a e de a , vai de a (a circunferência centrada na origem).

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes com base nos intervalos de 0 <= r <= 2 cos theta :
  1. Para 0 <= r <= 1 de integral duplaR y , dA = integral-pi3^pi3 integral0^2 cos theta (r sin theta) r , dr , dtheta + integralpi3^2pi3 integral0^1 (r sin theta) r , dr , dtheta + integral-2pi3^-pi3 integral0^1 (r sin theta) r , dr , dtheta a :
  1. Para de a e de a :
Assim, nossa integral dupla fica:

Passo 6

Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeira parte:
integral-pi3^pi3 integral0^2 cos theta r^2 sin theta , dr , dtheta
Integrando em integral0^2 cos theta r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 cos theta = (2 cos theta)^33 = 8 cos^3 theta3 :
83 integral-pi3^pi3 cos^3 theta sin theta , dtheta
Então, a primeira parte fica:
83 [ -cos^4 theta4 ]-pi3^pi3 = 83 cdot 14 [ cos^4 ( -pi3 ) - cos^4 ( pi3 ) ] = 0
Fazendo a substituição , :
Porque .
Segunda e terceira partes são simétricas e também cancelam, resultando em zero.

Resposta

A integral dupla sobre a região é igual a zero.

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