Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa esboçar a região de integração
definida pelas duas desigualdades
e
. Isso significa que estamos lidando com duas circunferências de raio 1: uma centrada na origem (0,0) e outra centrada em (1,0). O conteúdo que vamos utilizar é cálculo em coordenadas polares, que é muito útil para integrar sobre regiões circulares. Vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e identificar os limites de integração adequados para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Temos duas circunferências:
-
— centrada na origem. -
— centrada em (1,0).
Quando a gente desenha essas duas circunferências, percebe que elas se intersectam. O ponto de interseção pode ser encontrado resolvendo o sistema de equações, mas como vamos usar coordenadas polares, vamos focar em expressar as equações em termos de
e
.
Passo 3
Em coordenadas polares, temos as relações:
Vamos reescrever as equações das circunferências em coordenadas polares:
-
⇒ -
Expandindo a segunda equação:
Como
:
Então,
ou
. Como
, ignoramos
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de
. As duas circunferências se intersectam quando
e
se encontram:
Isso acontece quando
.
Então,
varia de
a
.
Para
nesse intervalo,
vai de
a
(a circunferência deslocada).
Fora desse intervalo, ou seja, para
de
a
e de
a
,
vai de
a
(a circunferência centrada na origem).
Passo 5
Vamos dividir a integral em duas partes com base nos intervalos de
:
- Para
de a :
- Para
de a e de a :
Assim, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeira parte:
Integrando em
:
Então, a primeira parte fica:
Fazendo a substituição
,
:
Porque
.
Segunda e terceira partes são simétricas e também cancelam, resultando em zero.
Resposta
A integral dupla
sobre a região
é igual a zero.