Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo: , com .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa esboçar a região de integração definida pelas duas desigualdades e . Isso significa que estamos lidando com duas circunferências de raio 1: uma centrada na origem (0,0) e outra centrada em (1,0). O conteúdo que vamos utilizar é cálculo em coordenadas polares, que é muito útil para integrar sobre regiões circulares. Vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e identificar os limites de integração adequados para e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Temos duas circunferências:
— centrada na origem.
— centrada em (1,0).
Quando a gente desenha essas duas circunferências, percebe que elas se intersectam. O ponto de interseção pode ser encontrado resolvendo o sistema de equações, mas como vamos usar coordenadas polares, vamos focar em expressar as equações em termos de e .
Passo 3
Em coordenadas polares, temos as relações:
Vamos reescrever as equações das circunferências em coordenadas polares:
⇒
Expandindo a segunda equação:
Como :
Então, ou . Como , ignoramos .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de . As duas circunferências se intersectam quando e se encontram:
Isso acontece quando .
Então, varia de a .
Para nesse intervalo, vai de a (a circunferência deslocada).
Fora desse intervalo, ou seja, para de a e de a , vai de a (a circunferência centrada na origem).
Passo 5
Vamos dividir a integral em duas partes com base nos intervalos de :
Para de a :
Para de a e de a :
Assim, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeira parte:
Integrando em :
Então, a primeira parte fica:
Fazendo a substituição , :
Porque .
Segunda e terceira partes são simétricas e também cancelam, resultando em zero.