Prove que o conjunto dos números naturais primos é infinito e enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto dos números primos é infinito e enumerável. Isso envolve dois conceitos principais: infinitude dos primos e enumerabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números primos, o que significa um conjunto ser infinito e como podemos enumerar um conjunto (ou seja, listar seus elementos de forma ordenada).

Passo 2

Primeiro, vamos provar que há infinitos números primos. A prova clássica disso foi feita por Euclides. A ideia é assumir que há apenas um número finito de primos e, a partir daí, chegar a uma contradição.

Passo 3

Vamos supor que existam apenas finitos números primos, digamos . Agora, considere o número .

Passo 4

Segundo a definição, um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Agora, vamos ver se é primo ou não:
  • Se for primo, então ele não está na lista , o que é uma contradição.
  • Se não for primo, então deve ter pelo menos um divisor primo. Porém, nenhum dos divide exatamente, porque ao dividir por qualquer , o resto será 1. Isso também é uma contradição.

Passo 5

Como chegamos a uma contradição em ambos os casos, nossa suposição inicial de que há um número finito de primos deve estar errada. Portanto, deve haver infinitos números primos.

Passo 6

Agora, vamos mostrar que os números primos são enumeráveis. Um conjunto é enumerável se podemos listá-lo em uma sequência, onde cada elemento pode ser associado a um número natural.

Passo 7

Sabemos que os números primos são um subconjunto dos números naturais. Já que os números naturais são enumeráveis e os primos podem ser listados (2, 3, 5, 7, 11, 13, …), podemos dizer que os primos também são enumeráveis.

Resposta

Portanto, provamos que o conjunto dos números primos é infinito e enumerável.

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, com .
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