Prove que o conjunto dos números naturais primos é infinito e enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto dos números primos é infinito e enumerável. Isso envolve dois conceitos principais: infinitude dos primos e enumerabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números primos, o que significa um conjunto ser infinito e como podemos enumerar um conjunto (ou seja, listar seus elementos de forma ordenada).
Passo 2
Primeiro, vamos provar que há infinitos números primos. A prova clássica disso foi feita por Euclides. A ideia é assumir que há apenas um número finito de primos e, a partir daí, chegar a uma contradição.
Passo 3
Vamos supor que existam apenas finitos números primos, digamos
. Agora, considere o número
.
Passo 4
Segundo a definição, um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Agora, vamos ver se
é primo ou não:
- Se
for primo, então ele não está na lista , o que é uma contradição. - Se
não for primo, então deve ter pelo menos um divisor primo. Porém, nenhum dos divide exatamente, porque ao dividir por qualquer , o resto será 1. Isso também é uma contradição.
Passo 5
Como chegamos a uma contradição em ambos os casos, nossa suposição inicial de que há um número finito de primos deve estar errada. Portanto, deve haver infinitos números primos.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que os números primos são enumeráveis. Um conjunto é enumerável se podemos listá-lo em uma sequência, onde cada elemento pode ser associado a um número natural.
Passo 7
Sabemos que os números primos são um subconjunto dos números naturais. Já que os números naturais são enumeráveis e os primos podem ser listados (2, 3, 5, 7, 11, 13, …), podemos dizer que os primos também são enumeráveis.
Resposta
Portanto, provamos que o conjunto dos números primos é infinito e enumerável.
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Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Seja
. Mostre que
é finito, se e somente se, existir uma bijeção de
sobre um conjunto finito
.
Suponha que
e
sejam conjuntos finitos tais que
. Prove que
.