Seja
. Mostre que
é finito, se e somente se, existir uma bijeção de
sobre um conjunto finito
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que um conjunto
não vazio é finito se e somente se existe uma bijeção de
para um conjunto finito
. Isso está dentro do estudo dos conjuntos finitos e infinitos e das funções bijetoras. Para resolver, vamos precisar entender o que é um conjunto finito e o que significa ter uma bijeção entre dois conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser finito. Um conjunto
é finito se existe um número natural
tal que podemos listar seus elementos de forma que
. Em outras palavras, ele tem um número limitado de elementos.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é uma bijeção. Uma bijeção é uma função que é injetora (cada elemento de
é mapeado para um elemento único em
) e sobretora (todos os elementos de
são atingidos por algum elemento de
). Ou seja, cada elemento de
corresponde a um único elemento de
, sem deixar nenhum de fora.
Passo 4
Primeiro, vamos provar a direção "se
é finito, então existe uma bijeção de
para um conjunto finito
". Se
é finito com
elementos, podemos escolher
. Definimos uma função
onde cada elemento de
é mapeado para um número único em
. Como
e
têm o mesmo número de elementos e cada elemento de
tem um correspondente único em
,
é uma bijeção.
Passo 5
Agora, vamos provar a direção “se existe uma bijeção de
para um conjunto finito
, então
é finito”. Suponha que
seja uma bijeção e que
seja finito com
elementos. Como
é uma bijeção,
deve ter exatamente
elementos também, caso contrário, não seria possível ter uma correspondência 1-1 e sobre. Assim,
é finito.
Resposta
Concluímos que o conjunto
é finito se e somente se existe uma bijeção de
para um conjunto finito
.
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Prove que o conjunto dos números naturais primos é infinito e enumerável.
Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Suponha que
e
sejam conjuntos finitos tais que
. Prove que
.
Suponha que
e
sejam conjuntos finitos tais que
,
,
e que
e
. Prove que
é finito e que
.