Seja . Mostre que é finito, se e somente se, existir uma bijeção de sobre um conjunto finito .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que um conjunto não vazio é finito se e somente se existe uma bijeção de para um conjunto finito . Isso está dentro do estudo dos conjuntos finitos e infinitos e das funções bijetoras. Para resolver, vamos precisar entender o que é um conjunto finito e o que significa ter uma bijeção entre dois conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser finito. Um conjunto é finito se existe um número natural tal que podemos listar seus elementos de forma que . Em outras palavras, ele tem um número limitado de elementos.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma bijeção. Uma bijeção é uma função que é injetora (cada elemento de é mapeado para um elemento único em ) e sobretora (todos os elementos de são atingidos por algum elemento de ). Ou seja, cada elemento de corresponde a um único elemento de , sem deixar nenhum de fora.

Passo 4

Primeiro, vamos provar a direção "se é finito, então existe uma bijeção de para um conjunto finito ". Se é finito com elementos, podemos escolher . Definimos uma função onde cada elemento de é mapeado para um número único em . Como e têm o mesmo número de elementos e cada elemento de tem um correspondente único em , é uma bijeção.

Passo 5

Agora, vamos provar a direção “se existe uma bijeção de para um conjunto finito , então é finito”. Suponha que seja uma bijeção e que seja finito com elementos. Como é uma bijeção, deve ter exatamente elementos também, caso contrário, não seria possível ter uma correspondência 1-1 e sobre. Assim, é finito.

Resposta

Concluímos que o conjunto é finito se e somente se existe uma bijeção de para um conjunto finito .

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, com .
Suponha que e sejam conjuntos finitos tais que . Prove que .
Suponha que e sejam conjuntos finitos tais que , , e que e . Prove que é finito e que .