Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem dada por:
E uma função proposta:
Nosso objetivo aqui é verificar se essa função
realmente resolve a equação diferencial apresentada. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e segunda derivadas de
, e depois substituir na equação para ver se o lado esquerdo iguala ao lado direito.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada de
. Temos:
Vamos derivar cada termo separadamente. Lembrando que a derivada de
é
e a derivada de
usando a regra da cadeia é
. Além disso, para
, usamos a regra do produto.
Então,
Simplificando,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, ou seja, derivar
:
Derivando cada termo:
Para
, usamos a regra do produto:
Simplificando:
Para
, novamente a regra do produto:
Juntando tudo:
Passo 4
Agora que temos
, vamos somar
para verificar a equação diferencial:
Simplificando os termos:
Sabemos que
, então:
Mas, queremos comparar com o lado direito da equação diferencial, que é
:
Vamos ver se
.
Entretanto, isso não é verdade para todo
no intervalo dado
. Portanto, a função
não satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
A função
não constitui solução da equação diferencial
no intervalo
.
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(b)
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