Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem dada por:
E uma função proposta:
Nosso objetivo aqui é verificar se essa função realmente resolve a equação diferencial apresentada. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e segunda derivadas de , e depois substituir na equação para ver se o lado esquerdo iguala ao lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de . Temos:
Vamos derivar cada termo separadamente. Lembrando que a derivada de é e a derivada de usando a regra da cadeia é . Além disso, para , usamos a regra do produto.
Então,
Simplificando,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , ou seja, derivar :
Derivando cada termo:
Para , usamos a regra do produto:
Simplificando:
Para , novamente a regra do produto:
Juntando tudo:

Passo 4

Agora que temos , vamos somar para verificar a equação diferencial:
Simplificando os termos:
Sabemos que , então:
Mas, queremos comparar com o lado direito da equação diferencial, que é :
Vamos ver se .
Entretanto, isso não é verdade para todo no intervalo dado . Portanto, a função não satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

A função não constitui solução da equação diferencial no intervalo .

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