Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, vamos usar integração, que faz parte do estudo de cálculo integral. Para resolver essa equação, precisamos integrar o lado direito em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é a derivada de em relação a . Para encontrar , precisamos integrar com respeito a . Ou seja, queremos calcular:
onde é a constante de integração.

Passo 3

Integrar diretamente pode ser complicado, então vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar. Sabemos que:
Vamos aplicar essa identidade para :

Passo 4

Expandindo o quadrado, temos:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Vamos reescrever a integral:
Simplificando:

Passo 6

Vamos integrar cada termo:
Para o terceiro termo, usamos novamente a identidade trigonométrica para :
Aplicando para :

Passo 7

Substituindo na integral:
Integrando:

Passo 8

Agora, juntando todos os termos integrados:
Simplificando os termos com :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
.
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(e)
Indique a ordem de cada EDO apontada e classifique quanto a linearidade.
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