Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, vamos usar integração, que faz parte do estudo de cálculo integral. Para resolver essa equação, precisamos integrar o lado direito em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é a derivada de
em relação a
. Para encontrar
, precisamos integrar
com respeito a
. Ou seja, queremos calcular:
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Integrar
diretamente pode ser complicado, então vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar. Sabemos que:
Vamos aplicar essa identidade para
:
Passo 4
Expandindo o quadrado, temos:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 5
Vamos reescrever a integral:
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar cada termo:
Para o terceiro termo, usamos novamente a identidade trigonométrica para
:
Aplicando para
:
Passo 7
Substituindo na integral:
Integrando:
Passo 8
Agora, juntando todos os termos integrados:
Simplificando os termos com
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
.
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(e)
(e)
Indique a ordem de cada EDO apontada e classifique quanto a linearidade.
©
©