Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar a região de integração e reescrever a integral dupla com a ordem de integração invertida. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Vamos precisar entender a região que está sendo integrada e como mudar a ordem de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original:
Isso significa que y varia de 0 a 3, e para cada y, x varia de a .

Passo 3

Vamos visualizar a região de integração. A expressão representa a parte superior e inferior de um círculo de raio 3 centrado na origem, ou seja, a equação . Mas como y varia de 0 a 3, estamos olhando apenas para a metade superior desse círculo.

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de integração com x variando primeiro e y depois.

Passo 5

Observando a região, x varia de -3 a 3 (o alcance total do círculo no eixo x). Para cada valor de x, y varia de 0 até , que é a parte superior do círculo.

Passo 6

Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:

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(e)
Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
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