Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla. integral0^1 / 16 integraly^1 / 4^1 / 2 cos (16 pi x^5) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral múltiplo juntos! A gente tem uma integral dupla onde precisamos inverter a ordem de integração e depois calcular a integral. Para isso, vamos usar conhecimentos de regiões de integração e troca de ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região de integração. A integral é dada por:
integral0^116 integraly^14^12 cos (16 pi x^5) , dx , dy
Aqui, varia de 0 a , e para cada , varia de a .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos identificar os novos limites de integral0^12 integral0^x^4 cos (16 pi x^5) , dy , dx e :
  • vai de 0 a (já que varia até no enunciado original).
  • Para cada , varia de 0 a (porque é a inversa de ).
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^x^4 cos (16 pi x^5) , dy = cos (16 pi x^5) cdot [ y ]0^x^4 = cos (16 pi x^5) cdot x^4 :
integral0^12 x^4 cos (16 pi x^5) , dx
Agora, nossa integral dupla simplifica para:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Seja:
u = 16 pi x^5 Rightarrow dudx = 80 pi x^4 Rightarrow x^4 dx = du80 pi
Substituindo na integral:
integral0^12 x^4 cos (16 pi x^5) , dx = integral0^pi2 cos(u)80 pi , du

Passo 6

Agora, é só integrar a função trigonométrica:
integral0^pi2 cos(u)80 pi , du = 180 pi [ sin(u) ]0^pi2 = 180 pi (1 - 0) = 180 pi

Resposta

A integral dupla vale .

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