Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral múltiplo juntos! A gente tem uma integral dupla onde precisamos inverter a ordem de integração e depois calcular a integral. Para isso, vamos usar conhecimentos de regiões de integração e troca de ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região de integração. A integral é dada por:
Aqui,
varia de 0 a
, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos identificar os novos limites de
e
:
-
vai de 0 a (já que varia até no enunciado original). - Para cada
, varia de 0 a (porque é a inversa de ).
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Agora, nossa integral dupla simplifica para:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, é só integrar a função trigonométrica:
Resposta
A integral dupla vale
.
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Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
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(d)
(d)