Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral múltiplo juntos! A gente tem uma integral dupla onde precisamos inverter a ordem de integração e depois calcular a integral. Para isso, vamos usar conhecimentos de regiões de integração e troca de ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região de integração. A integral é dada por:
Aqui, varia de 0 a , e para cada , varia de a .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos identificar os novos limites de e :
  • vai de 0 a (já que varia até no enunciado original).
  • Para cada , varia de 0 a (porque é a inversa de ).
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Agora, nossa integral dupla simplifica para:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, é só integrar a função trigonométrica:

Resposta

A integral dupla vale .

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Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Indique a ordem de cada EDO apontada e classifique quanto a linearidade.
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Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(d)