Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: . A gente vai trabalhar com cálculo de integrais duplas, e pra facilitar, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em relação a e depois em , a gente vai fazer o contrário. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles definem a região sobre a qual estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. No enunciado, varia de até . Para cada valor de , varia de até . Isso significa que estamos integrando sobre uma área que começa na linha e vai até a linha vertical .

Passo 3

Agora, vamos desenhar essa região no plano .
  1. A linha é uma linha vertical fixa.
  2. A linha é uma reta que passa pela origem com inclinação .
O vai até , então a interseção dessas duas linhas ocorre quando , ou seja, quando . Assim, nossa região de integração é um trapézio limitado por essas linhas.

Passo 4

Vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de e :
  1. varia de até .
  2. Para cada , varia de até , já que é a equação da linha que anteriormente era o limite inferior para .
Portanto, a integral invertida fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral invertida passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, nossa integral fica:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então . Isso simplifica a integral para:
Voltando para , temos:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(d)
Indique a ordem de cada EDO apontada e classifique quanto a linearidade.
(b)