Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: . A gente vai trabalhar com cálculo de integrais duplas, e pra facilitar, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em relação a e depois em , a gente vai fazer o contrário. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles definem a região sobre a qual estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. No enunciado, varia de até . Para cada valor de , varia de até . Isso significa que estamos integrando sobre uma área que começa na linha e vai até a linha vertical .
Passo 3
Agora, vamos desenhar essa região no plano .
A linha é uma linha vertical fixa.
A linha é uma reta que passa pela origem com inclinação .
O vai até , então a interseção dessas duas linhas ocorre quando , ou seja, quando . Assim, nossa região de integração é um trapézio limitado por essas linhas.
Passo 4
Vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de e :
varia de até .
Para cada , varia de até , já que é a equação da linha que anteriormente era o limite inferior para .
Portanto, a integral invertida fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral invertida passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, nossa integral fica:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então . Isso simplifica a integral para: