Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(e)
Passo 1
Beleza! A gente tem uma equação diferencial bem simples aqui: , onde . Nosso objetivo é encontrar as soluções dessa equação usando integração. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como elas ajudam a resolver equações diferenciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que representa a segunda derivada de em relação a . A equação significa que a curva não tem curvatura, ou seja, sua segunda derivada é zero em todo ponto.
Passo 3
Para resolver , vamos integrar essa equação. A integração nos ajuda a encontrar a função original a partir de sua derivada. Fazemos isso em duas etapas, já que estamos lidando com uma segunda derivada.
Passo 4
Primeira integração: Integramos em relação a :
Isso nos dá:
Aqui, é a constante de integração resultante da primeira integração.
Passo 5
Agora, temos a primeira derivada . Vamos integrar novamente para encontrar :
Isso resulta em:
Onde é a segunda constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é , onde e são constantes.
Exercícios relacionados
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(b)
Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
$\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+y=\sec t, \quad 0
Indique a ordem de cada EDO apontada e classifique quanto a linearidade.
(c)
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.