Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais: (e)

Passo 1

Beleza! A gente tem uma equação diferencial bem simples aqui: , onde . Nosso objetivo é encontrar as soluções dessa equação usando integração. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como elas ajudam a resolver equações diferenciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa a segunda derivada de em relação a . A equação significa que a curva não tem curvatura, ou seja, sua segunda derivada é zero em todo ponto.

Passo 3

Para resolver , vamos integrar essa equação. A integração nos ajuda a encontrar a função original a partir de sua derivada. Fazemos isso em duas etapas, já que estamos lidando com uma segunda derivada.

Passo 4

Primeira integração: Integramos em relação a : Isso nos dá: Aqui, é a constante de integração resultante da primeira integração.

Passo 5

Agora, temos a primeira derivada . Vamos integrar novamente para encontrar : Isso resulta em: Onde é a segunda constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde e são constantes.

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Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais: (b)
Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO. $\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+y=\sec t, \quad 0
Indique a ordem de cada EDO apontada e classifique quanto a linearidade. (c)
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.