Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla . O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas e mudança da ordem de integração. Para resolver, precisamos esboçar a região de integração e determinar os novos limites para as integrações após inverter a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites atuais. A variável varia de a . Para cada , a variável varia de a . Vamos esboçar essa região no plano .

Passo 3

Ao esboçar a região, observamos que a curva é uma parábola voltada para baixo. Quando , e quando , . Então, a região está limitada por , , e .

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar os limites de em termos de . A equação pode ser rearranjada para . Assim, para cada , varia de a . O valor de varia de a .

Passo 5

Com os novos limites, a integral dupla com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:

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Nos seguintes itens, integre sobre a região dada: (Triângulo) sobre a região triangular cortada pelo primeiro quadrante do plano pela reta .
Nos seguintes itens, integre sobre a região dada: (Triângulo) sobré a região triangular com vértices , e .
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
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