Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla
. O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas e mudança da ordem de integração. Para resolver, precisamos esboçar a região de integração e determinar os novos limites para as integrações após inverter a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais. A variável
varia de
a
. Para cada
, a variável
varia de
a
. Vamos esboçar essa região no plano
.
Passo 3
Ao esboçar a região, observamos que a curva
é uma parábola voltada para baixo. Quando
,
e quando
,
. Então, a região está limitada por
,
,
e
.
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar os limites de
em termos de
. A equação
pode ser rearranjada para
. Assim, para cada
,
varia de
a
. O valor de
varia de
a
.
Passo 5
Com os novos limites, a integral dupla com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Nos seguintes itens, integre
sobre a região dada: (Triângulo)
sobre a região triangular cortada pelo primeiro quadrante do plano
pela reta
.
Nos seguintes itens, integre
sobre a região dada: (Triângulo)
sobré a região triangular com vértices
,
e
.
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens: