Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e escrever uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida para a integral dada:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e como inverter a ordem dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da integral original. A integral está configurada assim:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de a .
Isso significa que a região de integração está dentro do intervalo de
entre 0 e 1, e para cada
,
começa em
e vai até
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar essa região. Imagine um gráfico com
no eixo vertical e
no eixo horizontal.
- A linha
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°. - A curva
é uma parábola que também começa na origem, mas cresce mais rapidamente, pois para cada , quando .
A região de integração está entre essas duas curvas, desde
até
.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para
e
:
- Agora, vamos começar fixando
. Observando a região, varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de a . Isso porque a curva pode ser reescrita como , e a reta permanece .
Passo 5
Com esses novos limites, a integral dupla com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
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Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
Nos seguintes itens, integre
sobre a região dada: (Triângulo)
sobre a região triangular cortada pelo primeiro quadrante do plano
pela reta
.
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
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