Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e escrever uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida para a integral dada:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e como inverter a ordem dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da integral original. A integral está configurada assim:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a .
Isso significa que a região de integração está dentro do intervalo de entre 0 e 1, e para cada , começa em e vai até .

Passo 3

Agora, vamos esboçar essa região. Imagine um gráfico com no eixo vertical e no eixo horizontal.
  • A linha é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°.
  • A curva é uma parábola que também começa na origem, mas cresce mais rapidamente, pois para cada , quando .
A região de integração está entre essas duas curvas, desde até .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para e :
  • Agora, vamos começar fixando . Observando a região, varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a . Isso porque a curva pode ser reescrita como , e a reta permanece .

Passo 5

Com esses novos limites, a integral dupla com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:

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Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
Nos seguintes itens, integre sobre a região dada: (Triângulo) sobre a região triangular cortada pelo primeiro quadrante do plano pela reta .
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