Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região de integração da integral dupla e também reescrever essa integral trocando a ordem de integração. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas e a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os limites de integração e como eles mudam quando a ordem é invertida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que está sendo integrada. A integral original é . Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 2 até .

Passo 3

Vamos desenhar essa região no plano . O limite inferior de é 0 e o superior é 1. Para , o limite inferior é sempre 2. O limite superior é uma reta que intercepta o eixo em 4 e tem inclinação -2. Quando , , e quando , .

Passo 4

Agora, para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a equação , podemos resolver para : .

Passo 5

Determinar os novos limites de . Como varia de 2 a 4 (do limite inferior 2 até a interseção quando ), esses serão os novos limites externos da integral.

Passo 6

Para cada fixo entre 2 e 4, varia de 0 até . Portanto, os novos limites internos para são de 0 a .

Passo 7

Com esses novos limites, podemos escrever a integral dupla com a ordem de integração invertida: .

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:

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