Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida nos seguintes itens:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região de integração da integral dupla
e também reescrever essa integral trocando a ordem de integração. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas e a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os limites de integração e como eles mudam quando a ordem é invertida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que está sendo integrada. A integral original é
. Isso significa que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de 2 até
.
Passo 3
Vamos desenhar essa região no plano
. O limite inferior de
é 0 e o superior é 1. Para
, o limite inferior é sempre 2. O limite superior
é uma reta que intercepta o eixo
em 4 e tem inclinação -2. Quando
,
, e quando
,
.
Passo 4
Agora, para trocar a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando a equação
, podemos resolver para
:
.
Passo 5
Determinar os novos limites de
. Como
varia de 2 a 4 (do limite inferior 2 até a interseção quando
), esses serão os novos limites externos da integral.
Passo 6
Para cada
fixo entre 2 e 4,
varia de 0 até
. Portanto, os novos limites internos para
são de 0 a
.
Passo 7
Com esses novos limites, podemos escrever a integral dupla com a ordem de integração invertida:
.
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
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