Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração. integral-1^2 integralraiz7+5 y^23^y+73 f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral dupla que envolve duas variáveis, e . O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração e inverter a ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como estão definidos os limites de integração e como eles se relacionam no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração dados na integral original:
integral-1^2 integralraiz7+5 y^23^y+73 f(x, y) , dx , dy
Aqui, varia de a , e para cada , varia de até .

Passo 3

Vamos entender o que esses limites representam. Para cada valor de entre e , começa em e vai até . Isso define uma região no plano onde estamos integrando.

Passo 4

Agora, vamos esboçar essa região. Para isso, precisamos plotar as duas funções que delimitam :
É útil encontrar pontos de interseção dessas duas curvas para saber onde mudar os limites.

Passo 5

Vamos igualar as duas expressões para encontrar os pontos de interseção:
raiz7+5 y^23 = y+73
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
7+5 y^23 = ( y+73 )^2
Multiplicando ambos os lados por 3(7 + 5 y^2) = (y + 7)^2 para simplificar:
21 + 15 y^2 = y^2 + 14 y + 49
Expandindo e simplificando:
14 y^2 - 14 y - 28 = 0
y^2 - y - 2 = 0
Dividindo tudo por y = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, e .

Passo 6

Os pontos de interseção são e , que são os mesmos limites para na integral original. Isso confirma que a região está bem definida entre esses valores de .

Passo 7

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observamos que:
  • varia de a
  • Para cada , varia de até
Queremos expressar os limites de em função de . Primeiro, vamos resolver as equações para .

Passo 8

Para x^2 = 7 + 5 y^23 Rightarrow 3x^2 = 7 + 5 y^2 Rightarrow 5 y^2 = 3x^2 - 7 Rightarrow y^2 = 3x^2 - 75 :
y = pm raiz 3x^2 - 75
y = 3x - 7
E para :

Passo 9

A região de integração invertida terá variando dentro de certos limites, e para cada , variar de uma função inferior até uma função superior. Observando as interseções, sabemos que varia de até .

Passo 10

Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral2^3 integral- raiz 3x^2 - 75 ^3x - 7 f(x, y) , dy , dx

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral2^3 integral- raiz 3x^2 - 75 ^3x - 7 f(x, y) , dy , dx

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