Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral dupla que envolve duas variáveis, e . O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração e inverter a ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como estão definidos os limites de integração e como eles se relacionam no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração dados na integral original:
Aqui, varia de a , e para cada , varia de até .

Passo 3

Vamos entender o que esses limites representam. Para cada valor de entre e , começa em e vai até . Isso define uma região no plano onde estamos integrando.

Passo 4

Agora, vamos esboçar essa região. Para isso, precisamos plotar as duas funções que delimitam :
É útil encontrar pontos de interseção dessas duas curvas para saber onde mudar os limites.

Passo 5

Vamos igualar as duas expressões para encontrar os pontos de interseção:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Expandindo e simplificando:
Dividindo tudo por :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, e .

Passo 6

Os pontos de interseção são e , que são os mesmos limites para na integral original. Isso confirma que a região está bem definida entre esses valores de .

Passo 7

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observamos que:
  • varia de a
  • Para cada , varia de até
Queremos expressar os limites de em função de . Primeiro, vamos resolver as equações para .

Passo 8

Para :
E para :

Passo 9

A região de integração invertida terá variando dentro de certos limites, e para cada , variar de uma função inferior até uma função superior. Observando as interseções, sabemos que varia de até .

Passo 10

Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A ordem de integração invertida é:

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