Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral dupla que envolve duas variáveis,
e
. O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração e inverter a ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como estão definidos os limites de integração e como eles se relacionam no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração dados na integral original:
Aqui,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos entender o que esses limites representam. Para cada valor de
entre
e
,
começa em
e vai até
. Isso define uma região no plano
onde estamos integrando.
Passo 4
Agora, vamos esboçar essa região. Para isso, precisamos plotar as duas funções que delimitam
:
É útil encontrar pontos de interseção dessas duas curvas para saber onde mudar os limites.
Passo 5
Vamos igualar as duas expressões para encontrar os pontos de interseção:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Expandindo e simplificando:
Dividindo tudo por
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
e
.
Passo 6
Os pontos de interseção são
e
, que são os mesmos limites para
na integral original. Isso confirma que a região está bem definida entre esses valores de
.
Passo 7
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observamos que:
-
varia de a - Para cada
, varia de até
Queremos expressar os limites de
em função de
. Primeiro, vamos resolver as equações para
.
Passo 8
Para
:
E para
:
Passo 9
A região de integração invertida terá
variando dentro de certos limites, e para cada
,
variar de uma função inferior até uma função superior. Observando as interseções, sabemos que
varia de
até
.
Passo 10
Portanto, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Se
descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo
(em segundos), calcule sua velocidade no instante
dado, usando a fórmula
:
e
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.