Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos a região de integração e invertermos a ordem de integração da integral dupla
. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente mudanças na ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e como a região se comporta no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração original. Estamos integrando
de 1 a 2 e, para cada
,
varia de 0 até
. Para esboçar isso:
- Trace o intervalo de
de 1 a 2 no eixo horizontal. - Para cada
nesse intervalo, vai de 0 até . A função cresce lentamente, então a região vai se expandir à medida que aumenta de 1 para 2.
Esse conjunto de pontos forma uma área abaixo da curva
, entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar os limites de
em função de
. Observando a região:
-
varia de 0 até (já que vai até 2 e é o valor máximo de ). - Para cada
, varia de até 2. Isso vem da inversa da função , que é .
Passo 4
Com os novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida. Agora, integramos primeiro em relação a
e depois em relação a
:
Resposta
A ordem de integração invertida da integral dada é:
Exercícios relacionados
Se
descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo
(em segundos), calcule sua velocidade no instante
dado, usando a fórmula
:
e
Resolva as equações separáveis:
, condição inicial
.
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.