Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos a região de integração e invertermos a ordem de integração da integral dupla . Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente mudanças na ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e como a região se comporta no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração original. Estamos integrando de 1 a 2 e, para cada , varia de 0 até . Para esboçar isso:
  1. Trace o intervalo de de 1 a 2 no eixo horizontal.
  2. Para cada nesse intervalo, vai de 0 até . A função cresce lentamente, então a região vai se expandir à medida que aumenta de 1 para 2.
Esse conjunto de pontos forma uma área abaixo da curva , entre e .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar os limites de em função de . Observando a região:
  • varia de 0 até (já que vai até 2 e é o valor máximo de ).
  • Para cada , varia de até 2. Isso vem da inversa da função , que é .

Passo 4

Com os novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida. Agora, integramos primeiro em relação a e depois em relação a :

Resposta

A ordem de integração invertida da integral dada é:

Exercícios relacionados

Se descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo (em segundos), calcule sua velocidade no instante dado, usando a fórmula : e
Resolva as equações separáveis:
, condição inicial .
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.