Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa entender a região de integração da integral dupla dada e depois inverter a ordem de integração. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente na parte de integrais múltiplas. Para fazer isso, vamos precisar desenhar a região onde
varia de 0 a 1 e
varia de
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico das funções que delimitam
. Temos duas curvas:
e
. Vamos plotar essas curvas no plano
para ver como elas se relacionam entre
e
.
Passo 3
Para
entre 0 e 1:
- Quando
, ambas as funções dão . - Quando
, ambas as funções dão . - Entre 0 e 1,
cresce mais rápido que , então está acima de .
Passo 4
Com isso, a região de integração é a área entre as curvas
e
, desde
até
.
Passo 5
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Vamos resolver as equações:
- De
, temos . - De
, temos .
Passo 6
Observando
, que varia de 0 a 1 (já que no ponto
,
), o valor de
vai de
a
.
Passo 7
Portanto, a integral com a ordem invertida fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é: