Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa entender a região de integração da integral dupla dada e depois inverter a ordem de integração. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente na parte de integrais múltiplas. Para fazer isso, vamos precisar desenhar a região onde varia de 0 a 1 e varia de a .
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico das funções que delimitam . Temos duas curvas: e . Vamos plotar essas curvas no plano para ver como elas se relacionam entre e .
Passo 3
Para entre 0 e 1:
- Quando , ambas as funções dão .
- Quando , ambas as funções dão .
- Entre 0 e 1, cresce mais rápido que , então está acima de .
Passo 4
Com isso, a região de integração é a área entre as curvas e , desde até .
Passo 5
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Vamos resolver as equações:
- De , temos .
- De , temos .
Passo 6
Observando , que varia de 0 a 1 (já que no ponto , ), o valor de vai de a .
Passo 7
Portanto, a integral com a ordem invertida fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é:
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