Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais:
integral0^1 integralx^3^x^2 f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa entender a região de integração da integral dupla dada e depois inverter a ordem de integração. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente na parte de integrais múltiplas. Para fazer isso, vamos precisar desenhar a região onde varia de 0 a 1 e varia de a .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico das funções que delimitam . Temos duas curvas: e . Vamos plotar essas curvas no plano para ver como elas se relacionam entre e .

Passo 3

Para entre 0 e 1:
  • Quando , ambas as funções dão .
  • Quando , ambas as funções dão .
  • Entre 0 e 1, cresce mais rápido que , então está acima de .

Passo 4

Com isso, a região de integração é a área entre as curvas e , desde até .

Passo 5

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Vamos resolver as equações:
  • De , temos .
  • De , temos .

Passo 6

Observando , que varia de 0 a 1 (já que no ponto , ), o valor de vai de a .

Passo 7

Portanto, a integral com a ordem invertida fica:
integral0^1 integraly^1/3^raizy f(x, y) , dx , dy

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral0^1 integraly^1/3^raizy f(x, y) , dx , dy

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