Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos a região de integração e invertermos a ordem das integrais na seguinte expressão:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte de cálculo multivariável. Vamos precisar entender como visualizar a região onde estamos integrando e depois trocar a ordem de integração de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. O primeiro integral externo é de
que vai de 0 até 4:
Dentro desse intervalo de
, o integral interno de
vai de 0 até
:
Passo 3
Agora, vamos esboçar essa região no plano
. Imagine um gráfico onde o eixo horizontal é
e o vertical é
.
-
varia de 0 a 4. - Para cada valor de
, vai de 0 até .
Isso significa que a região está abaixo da linha
e acima de
, entre
e
.
Passo 4
Vamos traçar a linha
. Essa é uma reta que passa pela origem (0,0) e tem inclinação
. Quando
,
. Então, a área de integração é um triângulo com vértices em (0,0), (2,4) e (0,4).
Passo 5
Agora, queremos inverter a ordem de integração, isto é, passar de
para
. Para isso, precisamos determinar os novos limites para
em termos de
.
Observando a região:
-
varia de 0 até 2 (já que quando , ). - Para cada
, vai de até 4.
Isso vem da equação
, que rearranjada fica
.
Passo 6
Assim, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A ordem invertida da integral é
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