Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais:
integral0^4 integral0^(y / 2) f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos a região de integração e invertermos a ordem das integrais na seguinte expressão:
integral0^4 integral0^y2 f(x, y) , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte de cálculo multivariável. Vamos precisar entender como visualizar a região onde estamos integrando e depois trocar a ordem de integração de para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O primeiro integral externo é de 0 <= y <= 4 que vai de 0 até 4:
0 <= x <= y2
Dentro desse intervalo de , o integral interno de vai de 0 até :

Passo 3

Agora, vamos esboçar essa região no plano . Imagine um gráfico onde o eixo horizontal é e o vertical é .
  • varia de 0 a 4.
  • Para cada valor de , vai de 0 até .
Isso significa que a região está abaixo da linha e acima de , entre e .

Passo 4

Vamos traçar a linha . Essa é uma reta que passa pela origem (0,0) e tem inclinação . Quando , . Então, a área de integração é um triângulo com vértices em (0,0), (2,4) e (0,4).

Passo 5

Agora, queremos inverter a ordem de integração, isto é, passar de para . Para isso, precisamos determinar os novos limites para em termos de .
Observando a região:
  • varia de 0 até 2 (já que quando , ).
  • Para cada , vai de até 4.
Isso vem da equação , que rearranjada fica .

Passo 6

Assim, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^2 integral2x^4 f(x, y) , dy , dx

Resposta

A ordem invertida da integral é
integral0^2 integral2x^4 f(x, y) , dy , dx

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