Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla e precisamos desenhar a região de integração e trocar a ordem de integração. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral múltiplo e geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. O valor de varia de até . Para cada valor de , o valor de vai de até .
Nota: Parece que há um pequeno erro no enunciado original. Provavelmente, o limite superior para deveria depender de , algo como , que faz mais sentido geométrico. Vamos assumir que é esse o caso para prosseguir.
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região de integração. Como varia de a e vai de a , estamos descrevendo a metade direita de um círculo de raio centrado na origem.
Visualmente, isso fica assim:
  • O círculo completo com raio tem a equação .
  • Como vai de a , estamos considerando apenas a parte onde é positivo, ou seja, a metade direita do círculo.

Passo 4

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Queremos expressar a integral em termos de primeiro e depois de .
Para isso:
  1. Primeiro, identificamos os novos limites para . Como estamos na metade direita do círculo, varia de a .
  2. Para cada valor de , varia de até .
Então, a nova integral fica:

Resposta

A ordem de integração trocada é:

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