Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. integral-2^2 integral0^raiz4-2 f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla integral-2^2 integral0^raiz4-2 f(x, y) , dx , dy e precisamos desenhar a região de integração e trocar a ordem de integração. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral múltiplo e geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. O valor de y varia de -2 até 2. Para cada valor de y, o valor de x vai de 0 até raiz4-2.
Nota: Parece que há um pequeno erro no enunciado original. Provavelmente, o limite superior para x deveria depender de y, algo como raiz4 - y^2, que faz mais sentido geométrico. Vamos assumir que é esse o caso para prosseguir.
Então, a integral fica:
integral-2^2 integral0^raiz4 - y^2 f(x, y) , dx , dy

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região de integração. Como y varia de -2 a 2 e x vai de 0 a raiz4 - y^2, estamos descrevendo a metade direita de um círculo de raio 2 centrado na origem.
Visualmente, isso fica assim:
  • O círculo completo com raio 2 tem a equação x^2 + y^2 = 4.
  • Como x vai de 0 a raiz4 - y^2, estamos considerando apenas a parte onde x é positivo, ou seja, a metade direita do círculo.

Passo 4

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Queremos expressar a integral em termos de x primeiro e depois de y.
Para isso:
  1. Primeiro, identificamos os novos limites para x. Como estamos na metade direita do círculo, x varia de 0 a 2.
  2. Para cada valor de x, y varia de -raiz4 - x^2 até raiz4 - x^2.
Então, a nova integral fica:
integral0^2 integral-raiz4 - x^2^raiz4 - x^2 f(x, y) , dy , dx

Resposta

A ordem de integração trocada é:
integral0^2 integral-raiz4 - x^2^raiz4 - x^2 f(x, y) , dy , dx

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