Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla
e precisamos desenhar a região de integração e trocar a ordem de integração. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral múltiplo e geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração. O valor de
varia de
até
. Para cada valor de
, o valor de
vai de
até
.
Nota: Parece que há um pequeno erro no enunciado original. Provavelmente, o limite superior para
deveria depender de
, algo como
, que faz mais sentido geométrico. Vamos assumir que é esse o caso para prosseguir.
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos esboçar a região de integração. Como
varia de
a
e
vai de
a
, estamos descrevendo a metade direita de um círculo de raio
centrado na origem.
Visualmente, isso fica assim:
- O círculo completo com raio
tem a equação . - Como
vai de a , estamos considerando apenas a parte onde é positivo, ou seja, a metade direita do círculo.
Passo 4
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Queremos expressar a integral em termos de
primeiro e depois de
.
Para isso:
- Primeiro, identificamos os novos limites para
. Como estamos na metade direita do círculo, varia de a . - Para cada valor de
, varia de até .
Então, a nova integral fica:
Resposta
A ordem de integração trocada é:
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Encontre o Wronskiano do par de funções dado:
Resolva.
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido Abaixo da superfície
e acima da região limitada pelas curvas
e
para
Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.
é o triângulo limitado pelas retas
,
e