Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido Abaixo da superfície z = x^2 * y^4 + x * y^2 e acima da região limitada pelas curvas y = x^3 - x e y = x^2 + x para x ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima da região limitada pelas curvas e para . Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Precisamos encontrar os pontos onde as curvas e se encontram para determinar os limites de integração.
Vamos resolver :
Resolvendo, temos ou . Para a segunda equação:
Como , os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra na região . Vamos escolher um valor de no intervalo, digamos :
Então, para , a curva está acima de .

Passo 4

Com isso, podemos montar a integral dupla para o volume. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, , , e . E .

Passo 5

Vamos montar a integral:
Primeiro, vamos integrar em relação a , mantendo constante.

Passo 6

Integrando em relação a :
Aplicando os limites de de a :

Passo 7

A integral agora fica:
Essa integral pode ser bem trabalhosa para resolver manualmente devido aos polinômios elevados, mas como usamos um sistema de computação algébrica, podemos calcular o valor exato.

Passo 8

Usando um sistema de computação algébrica (como o Wolfram Alpha ou o Mathematica), calculamos a integral acima:
Após resolver essa integral, obtemos o volume exato do sólido.

Resposta

O volume exato do sólido é:
Esse valor pode ser calculado exatamente utilizando um sistema de computação algébrica para simplificar e integrar os termos.

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