Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido Abaixo da superfície
e acima da região limitada pelas curvas
e
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume do sólido que está abaixo da superfície
e acima da região limitada pelas curvas
e
para
. Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Precisamos encontrar os pontos onde as curvas
e
se encontram para determinar os limites de integração.
Vamos resolver
:
Resolvendo, temos
ou
. Para a segunda equação:
Como
, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra na região
. Vamos escolher um valor de
no intervalo, digamos
:
Então, para
, a curva
está acima de
.
Passo 4
Com isso, podemos montar a integral dupla para o volume. A fórmula geral para o volume é:
Aqui,
,
,
e
. E
.
Passo 5
Vamos montar a integral:
Primeiro, vamos integrar em relação a
, mantendo
constante.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites de
de
a
:
Passo 7
A integral agora fica:
Essa integral pode ser bem trabalhosa para resolver manualmente devido aos polinômios elevados, mas como usamos um sistema de computação algébrica, podemos calcular o valor exato.
Passo 8
Usando um sistema de computação algébrica (como o Wolfram Alpha ou o Mathematica), calculamos a integral acima:
Após resolver essa integral, obtemos o volume exato do sólido.
Resposta
O volume exato do sólido é:
Esse valor pode ser calculado exatamente utilizando um sistema de computação algébrica para simplificar e integrar os termos.
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,
e
PROBLLMAS Em cada um dos problemas de 1 a 6 : Expresse a solução geral do sistema de equações dado como combinação de funções reais.