Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.
é o triângulo limitado pelas retas
,
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar a Propriedade 8 para estimar o valor de uma integral dupla sobre um triângulo
. A função que vamos integrar é
e o triângulo
é limitado pelas retas
,
e
. Vamos precisar entender o que é a Propriedade 8 e como aplicá-la em integrais duplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Propriedade 8. Geralmente, em cálculo, propriedades de integrais ajudam a simplificar ou estimar integrais. Suponhamos que a Propriedade 8 se refira à propriedade da média ou alguma forma de estimativa que usa valores máximos e mínimos da função sobre a região de integração. Como não temos a definição exata, vamos assumir que precisamos encontrar uma estimativa usando os valores máximos e mínimos de
no triângulo
.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. O triângulo
é limitado por
(eixo x),
, e
. Então, para
variando de 0 a 1,
varia de 0 a
. Assim, podemos expressar a integral dupla como:
Passo 4
Agora, vamos pensar em como estimar essa integral. Se usamos a média da função, podemos calcular o valor médio de
sobre a região
e multiplicar pela área do triângulo. Primeiro, calculamos a área do triângulo.
Passo 5
A área de um triângulo limitado por
a
e
a
é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar um valor médio para
sobre
. Notamos que
varia entre 0 e 1, já que o seno elevado a qualquer potência par está entre 0 e 1.
Passo 7
Como uma estimativa simples, podemos assumir que o valor médio de
é aproximadamente 0,5. Então, a integral dupla pode ser estimada como:
Resposta
A estimativa do valor da integral é aproximadamente
.
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e
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