Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. é o triângulo limitado pelas retas , e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar a Propriedade 8 para estimar o valor de uma integral dupla sobre um triângulo . A função que vamos integrar é e o triângulo é limitado pelas retas , e . Vamos precisar entender o que é a Propriedade 8 e como aplicá-la em integrais duplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Propriedade 8. Geralmente, em cálculo, propriedades de integrais ajudam a simplificar ou estimar integrais. Suponhamos que a Propriedade 8 se refira à propriedade da média ou alguma forma de estimativa que usa valores máximos e mínimos da função sobre a região de integração. Como não temos a definição exata, vamos assumir que precisamos encontrar uma estimativa usando os valores máximos e mínimos de no triângulo .

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. O triângulo é limitado por (eixo x), , e . Então, para variando de 0 a 1, varia de 0 a . Assim, podemos expressar a integral dupla como:

Passo 4

Agora, vamos pensar em como estimar essa integral. Se usamos a média da função, podemos calcular o valor médio de sobre a região e multiplicar pela área do triângulo. Primeiro, calculamos a área do triângulo.

Passo 5

A área de um triângulo limitado por a e a é:
Á

Passo 6

Agora, precisamos encontrar um valor médio para sobre . Notamos que varia entre 0 e 1, já que o seno elevado a qualquer potência par está entre 0 e 1.

Passo 7

Como uma estimativa simples, podemos assumir que o valor médio de é aproximadamente 0,5. Então, a integral dupla pode ser estimada como:
Á

Resposta

A estimativa do valor da integral é aproximadamente .

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