Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. integral duplaT sen^4(x+y) d A, T é o triângulo limitado pelas retas y=0, y=2 x e x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar a Propriedade 8 para estimar o valor de uma integral dupla sobre um triângulo . A função que vamos integrar é e o triângulo é limitado pelas retas , e . Vamos precisar entender o que é a Propriedade 8 e como aplicá-la em integrais duplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Propriedade 8. Geralmente, em cálculo, propriedades de integrais ajudam a simplificar ou estimar integrais. Suponhamos que a Propriedade 8 se refira à propriedade da média ou alguma forma de estimativa que usa valores máximos e mínimos da função sobre a região de integração. Como não temos a definição exata, vamos assumir que precisamos encontrar uma estimativa usando os valores máximos e mínimos de no triângulo .

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. O triângulo integral duplaT sin^4(x+y) , dA = integral0^1 integral0^2x sin^4(x+y) , dy , dx é limitado por (eixo x), , e . Então, para variando de 0 a 1, varia de 0 a . Assim, podemos expressar a integral dupla como:

Passo 4

Agora, vamos pensar em como estimar essa integral. Se usamos a média da função, podemos calcular o valor médio de sobre a região e multiplicar pela área do triângulo. Primeiro, calculamos a área do triângulo.

Passo 5

A área de um triângulo limitado por Área = integral0^1 2x , dx = [ x^2 ]0^1 = 1^2 - 0^2 = 1 a e a é:
Á

Passo 6

Agora, precisamos encontrar um valor médio para sobre . Notamos que varia entre 0 e 1, já que o seno elevado a qualquer potência par está entre 0 e 1.

Passo 7

Como uma estimativa simples, podemos assumir que o valor médio de integral duplaT sin^4(x+y) , dA approx 0,5 times Área = 0,5 times 1 = 0,5 é aproximadamente 0,5. Então, a integral dupla pode ser estimada como:
Á

Resposta

A estimativa do valor da integral é aproximadamente .

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