Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. integral0^1 integral2^4-2 x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região de integração e mudar a ordem de integração da integral dupla . Isso está relacionado a cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e como podemos reescrever os limites de integração trocando a ordem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais. A integral está na ordem , o que significa que para cada valor de entre 0 e 1, varia de 2 até .

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração no plano . Para isso, identificamos as retas que delimitam e .
  • A reta é uma linha horizontal.
  • A reta tem inclinação e intercepta o eixo em 4.
Quando , , e quando , . Então, a região vai de a , e de até a reta .

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem da integração para . Para isso, precisamos reescrever os limites de integração:
  • varia de 2 a 4 (já que no ponto , e no ponto , ).
  • Para um dado , varia de 0 até (obtido da equação , resolvendo para ).

Passo 5

Com os novos limites, a integral na ordem integral2^4 integral0^4 - y2 dx , dy fica:

Resposta

integral2^4 integral0^4 - y2 dx , dy

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