Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região de integração e mudar a ordem de integração da integral dupla
. Isso está relacionado a cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e como podemos reescrever os limites de integração trocando a ordem de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais. A integral está na ordem
, o que significa que para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de 2 até
.
Passo 3
Vamos esboçar a região de integração no plano
. Para isso, identificamos as retas que delimitam
e
.
- A reta
é uma linha horizontal. - A reta
tem inclinação e intercepta o eixo em 4.
Quando
,
, e quando
,
. Então, a região vai de
a
, e de
até a reta
.
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem da integração para
. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração:
-
varia de 2 a 4 (já que no ponto , e no ponto , ). - Para um dado
, varia de 0 até (obtido da equação , resolvendo para ).
Passo 5
Com os novos limites, a integral na ordem
fica: