integral duplaR y^2x^2 d A ; R é a região limitada pelas retas y=x, y=2 e pela hipérbole x y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é limitada pelas retas , e pela hipérbole . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente a troca de ordem de integração e a determinação dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Temos três curvas que delimitam essa região:
  1. A reta
  2. A reta
  3. A hipérbole
Vamos desenhar essas curvas para visualizar onde elas se interceptam e como a região está formada.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas:
  • Interseção entre y = x e y = 2 :
2 = x
y = x
Substituindo x cdot y = 1 na primeira equação:
x cdot x = 1
Então, ponto de interseção: x^2 = 1
  • Interseção entre x = 1 e y = 2 :
x cdot y = 1
x cdot 2 = 1
Substituindo x = 12 :
(considerando apenas , já que e são positivas)
Então, ponto de interseção:
  • Interseção entre e :
Substituindo :
Então, ponto de interseção:

Passo 4

Agora, vamos determinar a ordem de integração. Podemos escolher integrar em relação a primeiro e depois em relação a , ou vice-versa. Vamos analisar qual opção facilita mais a definição dos limites de integração.
Pela nossa região :
  • Para um determinado valor de entre 1 e 2, varia desde a hipérbole até a reta .
Portanto, faz sentido integrar em relação a primeiro.

Passo 5

Vamos estabelecer os limites de integração:
  • integraly=1^2 integralx=1y^y y^2x^2 , dx , dy varia de 1 a 2.
  • Para cada nesse intervalo, varia de a .
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral1y^y y^2x^2 , dx :
y^2 integral1y^y 1x^2 , dx
Como y^2 [ -1x ]1y^y = y^2 ( -1y + y ) = y^2 ( y - 1y ) = y^2 cdot y - y^2 cdot 1y = y^3 - y é tratado como constante em relação a , podemos fatorar :
A integral de é :

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integral1^2 (y^3 - y) , dy :
integral y^3 , dy - integral y , dy = [ y^44 ]1^2 - [ y^22 ]1^2
Integrando termo a termo:
( 2^44 - 1^44 ) - ( 2^22 - 1^22 ) = ( 164 - 14 ) - ( 42 - 12 ) = ( 4 - 0.25 ) - ( 2 - 0.5 ) = 3.75 - 1.5 = 2.25
Calculando os valores:
2.25 = 94
Convertendo para fração:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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