é a região limitada pelas retas
e pela hipérbole
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é limitada pelas retas
,
e pela hipérbole
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente a troca de ordem de integração e a determinação dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. Temos três curvas que delimitam essa região:
- A reta
- A reta
- A hipérbole
Vamos desenhar essas curvas para visualizar onde elas se interceptam e como a região
está formada.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas:
- Interseção entre
e :
Substituindo
na primeira equação:
Então, ponto de interseção:
- Interseção entre
e :
Substituindo
:
Então, ponto de interseção:
- Interseção entre
e :
Substituindo
:
Então, ponto de interseção:
Passo 4
Agora, vamos determinar a ordem de integração. Podemos escolher integrar em relação a
primeiro e depois em relação a
, ou vice-versa. Vamos analisar qual opção facilita mais a definição dos limites de integração.
Pela nossa região
:
- Para um determinado valor de
entre 1 e 2, varia desde a hipérbole até a reta .
Portanto, faz sentido integrar em relação a
primeiro.
Passo 5
Vamos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 1 a 2. - Para cada
nesse intervalo, varia de a .
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Como
é tratado como constante em relação a
, podemos fatorar
:
A integral de
é
:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:
Convertendo para fração:
Resposta
O valor da integral dupla é
.