Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma integral dupla:
. A nossa missão é desenhar a região onde vamos integrar e depois trocar a ordem de integração. Vamos precisar entender de cálculo integral, especificamente de integrais múltiplas e de como visualizar e manipular as áreas de integração no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região que estamos integrando. O x varia de 0 a 1, e para cada x, o y vai de 2 até
. Então, vamos desenhar isso no plano cartesiano. No eixo x, marcamos de 0 a 1. Para cada x nesse intervalo, y começa em 2 e sobe até
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar essa região. A função
é uma linha reta que intercepta o eixo y em 4 e tem uma inclinação de -2. Quando x=0, y=4; quando x=1, y=2. Então, nossa região está limitada abaixo por y=2 e acima por essa reta. É um trapézio bem simples entre x=0 e x=1.
Passo 4
Com a região desenhada, vamos trocar a ordem de integração. Atualmente, estamos integrando primeiro em y (de 2 a
) e depois em x (de 0 a 1). Para trocar, precisamos expressar x em função de y. A equação da reta é
, então
. Agora, vamos determinar os novos limites. Observando a região, y varia de 2 a 4. Para cada y, x vai de 0 até
.
Passo 5
Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração trocada:
.
Resposta
A ordem de integração trocada fica:
Exercícios relacionados
pode ser o gradiente de uma função
? Por quê ou por que não?