Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
integral0^1 integral2^4-2 x d y d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma integral dupla: integral0^1 integral2^4-2 x dy dx. A nossa missão é desenhar a região onde vamos integrar e depois trocar a ordem de integração. Vamos precisar entender de cálculo integral, especificamente de integrais múltiplas e de como visualizar e manipular as áreas de integração no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região que estamos integrando. O x varia de 0 a 1, e para cada x, o y vai de 2 até 4 - 2x. Então, vamos desenhar isso no plano cartesiano. No eixo x, marcamos de 0 a 1. Para cada x nesse intervalo, y começa em 2 e sobe até 4 - 2x.

Passo 3

Agora, vamos esboçar essa região. A função y = 4 - 2x é uma linha reta que intercepta o eixo y em 4 e tem uma inclinação de -2. Quando x=0, y=4; quando x=1, y=2. Então, nossa região está limitada abaixo por y=2 e acima por essa reta. É um trapézio bem simples entre x=0 e x=1.

Passo 4

Com a região desenhada, vamos trocar a ordem de integração. Atualmente, estamos integrando primeiro em y (de 2 a 4-2x) e depois em x (de 0 a 1). Para trocar, precisamos expressar x em função de y. A equação da reta é y = 4 - 2x, então x = 4 - y2. Agora, vamos determinar os novos limites. Observando a região, y varia de 2 a 4. Para cada y, x vai de 0 até 4 - y2.

Passo 5

Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração trocada: integral2^4 integral0^4 - y2 dx dy.

Resposta

A ordem de integração trocada fica: integral2^4 integral0^4 - y2 dx dy

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