integral (x^2+2 x) d xraizx^3+3 x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular . A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: u = x^3 + 3x^2 + 1 . Vamos chamar o que está dentro da raiz de :

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 3x^2 + 6x em relação a du = (3x^2 + 6x) , dx para encontrar :

Passo 4

Perceba que no numerador da nossa integral temos du = 3(x^2 + 2x) , dx . Vamos arrumar o du3 = (x^2 + 2x) , dx para ter exatamente isso:

Passo 5

Substituindo integral x^2+2xraizx^3+3x^2+1 , dx = integral du3raizu e = 13 integral u^-1/2 , du na integral original, temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C :
13 times 2u^1/2 = 23 raizu + C
Portanto:

Passo 7

Finalmente, voltamos para a variável original 23 raizx^3 + 3x^2 + 1 + C substituindo de volta:

Resposta

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F = (e^x cos(y) + e^(-x) sen(z)) i - e^x sen(y) j + e^(-x) cos(z) k
pode ser o gradiente de uma função f(x, y, z)? Por quê ou por que não?
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
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integral s d sraiz3 s^2+1
integral sen^3 theta cos theta d theta