Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular
. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração:
. Vamos chamar o que está dentro da raiz de
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Perceba que no numerador da nossa integral temos
. Vamos arrumar o
para ter exatamente isso:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Portanto:
Passo 7
Finalmente, voltamos para a variável original
substituindo
de volta:
Resposta
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pode ser o gradiente de uma função
? Por quê ou por que não?
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração: