ointC x^2 y d x-y^2 x d y, onde C é a circunferência x^2+y^2=1

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC x^2 y , dx - y^2 x , dy, onde C é a circunferência x^2+y^2=1. Vamos usar o Teorema de Green para resolver isso. Para aplicar o teorema, precisamos identificar as funções P e Q na integral e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, identificamos P = x^2 y e Q = -y^2 x. O Teorema de Green nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada por C. A fórmula é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (-y^2 x)partial x = -y^2
partial Ppartial y = partial (x^2 y)partial y = x^2
Então, a diferença é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -y^2 - x^2 = -(x^2 + y^2)

Passo 4

Como C é a circunferência unitária x^2+y^2=1, é conveniente usar coordenadas polares para a integral dupla. Em coordenadas polares, x^2 + y^2 = r^2 e dA = r , dr , dtheta. Assim, a integral dupla fica:
- integral duplaD r^2 cdot r , dr , dtheta = - integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta

Passo 5

Calculamos as integrais:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
- ( 14 times 2pi ) = -pi2

Resposta

O valor da integral é - dfracpi2.

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