, onde
é a circunferência
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
é a circunferência
. Vamos usar o Teorema de Green para resolver isso. Para aplicar o teorema, precisamos identificar as funções
e
na integral e calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Primeiro, identificamos
e
. O Teorema de Green nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada por
. A fórmula é:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Então, a diferença é:
Passo 4
Como
é a circunferência unitária
, é conveniente usar coordenadas polares para a integral dupla. Em coordenadas polares,
e
. Assim, a integral dupla fica:
Passo 5
Calculamos as integrais:
Multiplicando tudo:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Integre
sobre o caminho
.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
pode ser o gradiente de uma função
? Por quê ou por que não?