F = (e^x cos(y) + e^(-x) sen(z)) i - e^x sen(y) j + e^(-x) cos(z) k
pode ser o gradiente de uma função f(x, y, z)? Por quê ou por que não?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se o campo vetorial dado pode ser o gradiente de alguma função . Isso envolve o estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e gradientes. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo é conservativo, ou seja, se ele é igual ao gradiente de uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um campo vetorial é o gradiente de uma função se ele for conservativo. E uma condição essencial para isso é que o rotacional de seja zero, ou seja, . Então, nosso próximo passo é calcular o rotacional de .

Passo 3

Vamos escrever de forma mais clara:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional :

Passo 4

Calculando cada termo:
  1. (pois não depende de )
  2. (pois não depende de )

Passo 5

Agora, substituindo esses valores na expressão do rotacional:
Simplificando:

Passo 6

Vimos que o rotacional de não é zero:
Isso significa que não é um campo conservativo.

Resposta

Não, o campo vetorial não pode ser o gradiente de nenhuma função , porque o rotacional de não é zero, indicando que não é conservativo.

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
integral0^1 integral2^4-2 x d y d x
ointC x^2 y d x-y^2 x d y, onde C é a circunferência x^2+y^2=1
integral (x^2+2 x) d xraizx^3+3 x^2+1
integral s d sraiz3 s^2+1