pode ser o gradiente de uma função
? Por quê ou por que não?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se o campo vetorial
dado pode ser o gradiente de alguma função
. Isso envolve o estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e gradientes. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo
é conservativo, ou seja, se ele é igual ao gradiente de uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um campo vetorial
é o gradiente de uma função
se ele for conservativo. E uma condição essencial para isso é que o rotacional de
seja zero, ou seja,
. Então, nosso próximo passo é calcular o rotacional de
.
Passo 3
Vamos escrever
de forma mais clara:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional
:
Passo 4
Calculando cada termo:
-
(pois não depende de ) -
(pois não depende de ) -
-
-
-
Passo 5
Agora, substituindo esses valores na expressão do rotacional:
Simplificando:
Passo 6
Vimos que o rotacional de
não é zero:
Isso significa que
não é um campo conservativo.
Resposta
Não, o campo vetorial
não pode ser o gradiente de nenhuma função
, porque o rotacional de
não é zero, indicando que
não é conservativo.
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