Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:
( 1,0 ponto)
( 1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar a região de integração de uma integral dupla e depois mudar a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudanças de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como os limites de integração definem uma região no plano e como reescrever esses limites de outra maneira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral dada:
Aqui, a integração externa é em relação a
de 0 a 2, e para cada
,
varia de 0 a
. Isso significa que nossa região está limitada por
,
,
e
.
Passo 3
Vamos esboçar a região de integração no plano
:
- Desenhe os eixos
e . - Trace a linha
(eixo ) e (uma linha vertical em ). - Trace a linha
(eixo ) e (uma linha que passa pela origem com inclinação 2).
A região de integração é o triângulo formado entre
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Originalmente, integramos
de 0 a
para cada
de 0 a 2. Queremos inverter isso, ou seja, integrar
em função de
.
Para isso, observamos que:
-
varia de 0 até o valor máximo quando , que é . - Para cada
, varia de (obtido rearranjando ) até 2.
Passo 5
Com esses novos limites, a integral com a ordem invertida fica:
Resposta
Após mudar a ordem de integração, a integral fica:
Exercícios relacionados
Seja
um campo vetorial.
(a) Defina o divergente e o rotacional de ;
(b) que
;
© Mostre que se for um campo conservativo, então
;
(d) Utilize o item (b) para mostrar que não existe tal que
;
(e) Utilize o item © para mostrar que não é conservativo.
(a) Defina o divergente e o rotacional de
(b)
© Mostre que se
(d) Utilize o item (b) para mostrar que não existe
(e) Utilize o item © para mostrar que
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
, é analítica para todo
.
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
é analítica em
.
Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:
( 1,0 ponto
( 1,0 ponto