Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:
integral0^2 integral0^2 x f(x, y) d y d x
( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar a região de integração de uma integral dupla e depois mudar a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudanças de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como os limites de integração definem uma região no plano e como reescrever esses limites de outra maneira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral dada:
integral0^2 integral0^2x f(x, y) , dy , dx
Aqui, a integração externa é em relação a de 0 a 2, e para cada , varia de 0 a . Isso significa que nossa região está limitada por , , e .

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração no plano :
  1. Desenhe os eixos e .
  2. Trace a linha (eixo ) e (uma linha vertical em ).
  3. Trace a linha (eixo ) e (uma linha que passa pela origem com inclinação 2).
A região de integração é o triângulo formado entre , e .

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Originalmente, integramos de 0 a para cada de 0 a 2. Queremos inverter isso, ou seja, integrar em função de .
Para isso, observamos que:
  • varia de 0 até o valor máximo quando , que é .
  • Para cada , varia de (obtido rearranjando ) até 2.

Passo 5

Com esses novos limites, a integral com a ordem invertida fica:
integral0^4 integraly2^2 f(x, y) , dx , dy

Resposta

Após mudar a ordem de integração, a integral fica:
integral0^4 integraly2^2 f(x, y) , dx , dy

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