Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: é analítica em .

Passo 1

Ok, então o enunciado nos pede para verificar se a função é analítica no conjunto dos números complexos . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica e quais ferramentas da análise complexa podemos usar para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função de uma variável complexa é chamada analítica em um domínio se ela for diferenciável em cada ponto desse domínio. Isso é um pouco mais rigoroso do que a diferenciabilidade em cálculo real.

Passo 3

Uma das maneiras mais comuns de verificar se uma função é analítica é usando as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dão condições que as partes real e imaginária da função devem satisfazer para que a função seja diferenciável, e portanto, analítica.

Passo 4

Vamos escrever a função de forma que possamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Seja , onde e são números reais, e é a unidade imaginária.
Então:
Aqui, é o módulo de , e é o argumento de , ou seja, o ângulo que o vetor representando faz com o eixo real.

Passo 5

Separando as partes real e imaginária de :
Então, temos .

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de e :

Passo 7

As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser analítica:
e
Vamos verificar essas igualdades com as derivadas que calculamos.

Passo 8

Verificando a primeira igualdade:
Está ok.
Agora, a segunda igualdade:
Também está ok.

Passo 9

Como as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todos os pontos de exceto no ponto (onde a função não está definida devido ao logaritmo e ao argumento), podemos concluir que é analítica em .

Resposta

A função é analítica em todo o conjunto dos números complexos exceto no ponto .

Exercícios relacionados

Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:

( 1,0 ponto)
Seja um campo vetorial.
(a) Defina o divergente e o rotacional de ;
(b) que ;
© Mostre que se for um campo conservativo, então ;
(d) Utilize o item (b) para mostrar que não existe tal que ;
(e) Utilize o item © para mostrar que não é conservativo.
Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:

( 1,0 ponto
Mostre que as funções definidas em e , com , tem a mesma transformada de Laplace.