Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
é analítica em
.
Passo 1
Ok, então o enunciado nos pede para verificar se a função
é analítica no conjunto dos números complexos
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica e quais ferramentas da análise complexa podemos usar para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função de uma variável complexa é chamada analítica em um domínio se ela for diferenciável em cada ponto desse domínio. Isso é um pouco mais rigoroso do que a diferenciabilidade em cálculo real.
Passo 3
Uma das maneiras mais comuns de verificar se uma função é analítica é usando as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dão condições que as partes real e imaginária da função devem satisfazer para que a função seja diferenciável, e portanto, analítica.
Passo 4
Vamos escrever a função
de forma que possamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Seja
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária.
Então:
Aqui,
é o módulo de
, e
é o argumento de
, ou seja, o ângulo que o vetor representando
faz com o eixo real.
Passo 5
Separando as partes real e imaginária de
:
Então, temos
.
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
:
Passo 7
As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser analítica:
e
Vamos verificar essas igualdades com as derivadas que calculamos.
Passo 8
Verificando a primeira igualdade:
Está ok.
Agora, a segunda igualdade:
Também está ok.
Passo 9
Como as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todos os pontos de
exceto no ponto
(onde a função não está definida devido ao logaritmo e ao argumento), podemos concluir que
é analítica em
.
Resposta
A função
é analítica em todo o conjunto dos números complexos
exceto no ponto
.