Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:

( 1,0 ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar a região de integração e mudar a ordem das integrais duplas. Estamos lidando com uma integral onde varia de 1 a 4 e, para cada , varia de 0 até . Vamos precisar entender como esses limites definem a região no plano e depois reorganizar esses limites para trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos:
  • vai de 1 a 4.
  • Para cada , vai de 0 a .
Vamos reescrever para facilitar:
Então, a curva que delimita e é .

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região. No plano :
  • A curva começa em e sobe para a direita.
  • vai até 4, então a região está limitada inferiormente por e superiormente por .
  • varia de 0 até , que corresponde a de 0 até a raiz quadrada da expressão.

Passo 4

Para mudar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de e determinar os novos limites:
  • varia de até .
  • Agora, varia desde 0 até .

Passo 5

Com isso, a nova ordem de integração fica:
Assim, trocamos a ordem das integrais e ajustamos os limites de acordo com a nova ordem.

Resposta

A ordem de integração trocada é:

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Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: é analítica em .
Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:

( 1,0 ponto)
Mostre que as funções definidas em e , com , tem a mesma transformada de Laplace.
Calcule: