Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:
( 1,0 ponto
( 1,0 ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar a região de integração e mudar a ordem das integrais duplas. Estamos lidando com uma integral onde
varia de 1 a 4 e, para cada
,
varia de 0 até
. Vamos precisar entender como esses limites definem a região no plano
e depois reorganizar esses limites para trocar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos:
-
vai de 1 a 4. - Para cada
, vai de 0 a .
Vamos reescrever
para facilitar:
Então, a curva que delimita
e
é
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar a região. No plano
:
- A curva
começa em e sobe para a direita. -
vai até 4, então a região está limitada inferiormente por e superiormente por . -
varia de 0 até , que corresponde a de 0 até a raiz quadrada da expressão.
Passo 4
Para mudar a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
e determinar os novos limites:
-
varia de até . - Agora,
varia desde 0 até .
Passo 5
Com isso, a nova ordem de integração fica:
Assim, trocamos a ordem das integrais e ajustamos os limites de acordo com a nova ordem.
Resposta
A ordem de integração trocada é:
Exercícios relacionados
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
é analítica em
.
Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:
( 1,0 ponto)
( 1,0 ponto)
Mostre que as funções definidas em
e
, com
, tem a mesma transformada de Laplace.
Calcule: