Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: , é analítica para todo .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos verificar se ela é analítica para todo diferente de e . Para isso, vamos precisar saber sobre funções analíticas e pontos singulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica em um ponto se ela é diferenciável em um entorno desse ponto. Então, para ser analítica em um certo , ela precisa ser diferenciável ali.

Passo 3

Agora, vamos identificar onde a função pode não ser diferenciável. Isso acontece onde o denominador é zero, ou seja, onde . Vamos resolver essa equação para encontrar os valores críticos de .

Passo 4

Resolvendo , temos:
Isso significa que são as raízes quartas de 1. As soluções são:
Aqui, é a unidade imaginária ( ).

Passo 5

Essas soluções são os pontos onde não é definida, pois o denominador se anula. Esses pontos são chamados de pontos singulares.

Passo 6

Fora desses pontos singulares, ou seja, para todo que não seja ou , a função é bem definida e diferenciável. Portanto, é analítica em todo lugar, exceto nesses pontos.

Resposta

Sim, a função é analítica para todo diferente de e .

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Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: não é analítica em .
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: é analítica em .
Seja um campo vetorial.
(a) Defina o divergente e o rotacional de ;
(b) que ;
© Mostre que se for um campo conservativo, então ;
(d) Utilize o item (b) para mostrar que não existe tal que ;
(e) Utilize o item © para mostrar que não é conservativo.
Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:

( 1,0 ponto)