Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: g(z) = 1 / (1 - z^4), é analítica para todo z != +- 1, +- j.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos verificar se ela é analítica para todo diferente de e . Para isso, vamos precisar saber sobre funções analíticas e pontos singulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica em um ponto se ela é diferenciável em um entorno desse ponto. Então, para ser analítica em um certo , ela precisa ser diferenciável ali.

Passo 3

Agora, vamos identificar onde a função pode não ser diferenciável. Isso acontece onde o denominador é zero, ou seja, onde . Vamos resolver essa equação para encontrar os valores críticos de .

Passo 4

Resolvendo , temos:
Isso significa que são as raízes quartas de 1. As soluções são:
Aqui, é a unidade imaginária ( ).

Passo 5

Essas soluções são os pontos onde não é definida, pois o denominador se anula. Esses pontos são chamados de pontos singulares.

Passo 6

Fora desses pontos singulares, ou seja, para todo que não seja ou , a função é bem definida e diferenciável. Portanto, é analítica em todo lugar, exceto nesses pontos.

Resposta

Sim, a função é analítica para todo diferente de e .

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