Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
, é analítica para todo
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos verificar se ela é analítica para todo
diferente de
e
. Para isso, vamos precisar saber sobre funções analíticas e pontos singulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica em um ponto se ela é diferenciável em um entorno desse ponto. Então, para
ser analítica em um certo
, ela precisa ser diferenciável ali.
Passo 3
Agora, vamos identificar onde a função
pode não ser diferenciável. Isso acontece onde o denominador é zero, ou seja, onde
. Vamos resolver essa equação para encontrar os valores críticos de
.
Passo 4
Resolvendo
, temos:
Isso significa que
são as raízes quartas de 1. As soluções são:
Aqui,
é a unidade imaginária (
).
Passo 5
Essas soluções
são os pontos onde
não é definida, pois o denominador se anula. Esses pontos são chamados de pontos singulares.
Passo 6
Fora desses pontos singulares, ou seja, para todo
que não seja
ou
, a função
é bem definida e diferenciável. Portanto,
é analítica em todo lugar, exceto nesses pontos.
Resposta
Sim, a função
é analítica para todo
diferente de
e
.