Seja F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) um campo vetorial.
(a) Defina o divergente e o rotacional de F;
(b) Mostre que Div(Rot(F)) = 0;
© Mostre que se F for um campo conservativo, então Rot(F) = 0;
(d) Utilize o item (b) para mostrar que não existe G tal que Rot(G) = (y*z, -y^2*z, y*z);
(e) Utilize o item © para mostrar que F(x, y, z) = (x*z, x*y*z, -x^2*y^2) não é conservativo.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial . Vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergente e rotacional. Para resolver os itens, vamos precisar entender como calcular o divergente, o rotacional e aplicar propriedades desses conceitos em diferentes situações.

Passo 2

Item (a): Definir o divergente e o rotacional de .
Primeiro, vamos definir o que são divergente e rotacional.
  • Divergente ( ): Mede a tendência de um campo vetorial de divergir de um ponto. É dado pela soma das derivadas parciais das componentes de :
  • Rotacional ( ): Mede a tendência de um campo vetorial de girar em torno de um ponto. É dado pelo operador de rotacional aplicado a :

Passo 3

Item (b): Mostrar que .
Vamos aplicar o divergente no rotacional de :
Distribuindo as derivadas:
Observamos que cada par de termos se cancela:
Portanto, .

Passo 4

Item ©: Mostrar que se for um campo conservativo, então .
Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional deles é zero.
Vamos ver por quê:
Sabemos que o rotacional do gradiente de uma função escalar é sempre zero:
Portanto, se é conservativo, então:

Passo 5

Item (d): Utilizar o item (b) para mostrar que não existe tal que .
Vamos supor que existe um campo vetorial tal que:
De acordo com o item (b), o divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é zero:
Vamos calcular o divergente de :
Calculando cada derivada:
Para que isso seja igual a zero para todos os , deveríamos ter:
Isso não é verdadeiro para todos os . Portanto, não existe que satisfaça .

Passo 6

Item (e): Utilizar o item © para mostrar que não é conservativo.
Pelo item ©, se fosse conservativo, então o rotacional de seria zero:
Vamos calcular o rotacional de :
Calculando as derivadas:
Como , concluímos que não é conservativo.

Resposta

(a)
Divergente:
Rotacional:
(b)
©
Se for conservativo, então
(d)
Não existe tal que
(e)
O campo não é conservativo

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