Seja
um campo vetorial.
(a) Defina o divergente e o rotacional de
;
(b)
que
;
© Mostre que se
for um campo conservativo, então
;
(d) Utilize o item (b) para mostrar que não existe
tal que
;
(e) Utilize o item © para mostrar que
não é conservativo.
(a) Defina o divergente e o rotacional de
(b)
© Mostre que se
(d) Utilize o item (b) para mostrar que não existe
(e) Utilize o item © para mostrar que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
. Vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergente e rotacional. Para resolver os itens, vamos precisar entender como calcular o divergente, o rotacional e aplicar propriedades desses conceitos em diferentes situações.
Passo 2
Item (a): Definir o divergente e o rotacional de
.
Primeiro, vamos definir o que são divergente e rotacional.
-
Divergente (
): Mede a tendência de um campo vetorial de divergir de um ponto. É dado pela soma das derivadas parciais das componentes de : -
Rotacional (
): Mede a tendência de um campo vetorial de girar em torno de um ponto. É dado pelo operador de rotacional aplicado a :
Passo 3
Item (b): Mostrar que
.
Vamos aplicar o divergente no rotacional de
:
Distribuindo as derivadas:
Observamos que cada par de termos se cancela:
Portanto,
.
Passo 4
Item ©: Mostrar que se
for um campo conservativo, então
.
Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional deles é zero.
Vamos ver por quê:
Sabemos que o rotacional do gradiente de uma função escalar é sempre zero:
Portanto, se
é conservativo, então:
Passo 5
Item (d): Utilizar o item (b) para mostrar que não existe
tal que
.
Vamos supor que existe um campo vetorial
tal que:
De acordo com o item (b), o divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é zero:
Vamos calcular o divergente de
:
Calculando cada derivada:
Para que isso seja igual a zero para todos os
, deveríamos ter:
Isso não é verdadeiro para todos os
. Portanto, não existe
que satisfaça
.
Passo 6
Item (e): Utilizar o item © para mostrar que
não é conservativo.
Pelo item ©, se
fosse conservativo, então o rotacional de
seria zero:
Vamos calcular o rotacional de
:
Calculando as derivadas:
Como
, concluímos que
não é conservativo.
Resposta
(a)
Divergente:
Rotacional:
Divergente:
Rotacional:
(b)
©
Se for conservativo, então
Se
(d)
Não existe tal que
Não existe
(e)
O campo não é conservativo
O campo
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Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
, é analítica para todo
.
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
não é analítica em
.
Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:
( 1,0 ponto)
( 1,0 ponto)
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
é analítica em
.