Seja , dada por
Mostre que é uma curva plana e obtenha a equação do plano que a contém;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por uma função para todo . O objetivo aqui é mostrar que essa curva está toda num plano (ou seja, é uma curva plana) e descobrir qual é a equação desse plano. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre equações de planos no espaço tridimensional e como verificar se todos os pontos de uma curva satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os componentes da função . Ela nos dá as coordenadas , e de qualquer ponto na curva para um valor específico de :

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma relação linear entre , e que seja válida para todos os pontos da curva. Essa relação será a equação do plano onde a curva está contida. Para isso, vamos tentar eliminar o parâmetro das equações.

Passo 4

Observando as expressões para e , vemos que ambas dependem de . Vamos expressar em termos de :
Agora, substituímos na equação de :

Passo 5

Rearranjando a equação acima para colocá-la na forma padrão de uma equação de plano, temos:
Isso significa que para qualquer ponto na curva, a equação será satisfeita.

Passo 6

Portanto, mostramos que todos os pontos da curva satisfazem a equação . Isso confirma que a curva está totalmente contida no plano definido por essa equação, ou seja, a curva é plana.

Resposta

A curva é uma curva plana e está contida no plano cuja equação é .

Exercícios relacionados

Seja uma curva, definida por .
Determine o ponto no qual a tangente à curva seja ortogonal ao vetor ;
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Seja , dada por
Obtenha a equação cartesiana do plano osculador de no ponto .
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.