Seja alpha: [0, infinito) -> R^3, dada por
α(t) = (3 sen t, 1 - 5 cos t, -4 sen t), t ≥ 0
Mostre que alpha é uma curva plana e obtenha a equação do plano que a contém;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por uma função para todo . O objetivo aqui é mostrar que essa curva está toda num plano (ou seja, é uma curva plana) e descobrir qual é a equação desse plano. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre equações de planos no espaço tridimensional e como verificar se todos os pontos de uma curva satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os componentes da função alpha(t). Ela nos dá as coordenadas x, y e z de qualquer ponto na curva para um valor específico de t:

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma relação linear entre x, y e z que seja válida para todos os pontos da curva. Essa relação será a equação do plano onde a curva está contida. Para isso, vamos tentar eliminar o parâmetro t das equações.

Passo 4

Observando as expressões para x e z, vemos que ambas dependem de . Vamos expressar em termos de :
Agora, substituímos na equação de :

Passo 5

Rearranjando a equação acima para colocá-la na forma padrão de uma equação de plano, temos:
Isso significa que para qualquer ponto (x, y, z) na curva, a equação será satisfeita.

Passo 6

Portanto, mostramos que todos os pontos da curva alpha(t) satisfazem a equação . Isso confirma que a curva está totalmente contida no plano definido por essa equação, ou seja, a curva é plana.

Resposta

A curva alpha(t) é uma curva plana e está contida no plano cuja equação é .

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