Seja
, dada por
Mostre que
é uma curva plana e obtenha a equação do plano que a contém;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por uma função para todo
. O objetivo aqui é mostrar que essa curva está toda num plano (ou seja, é uma curva plana) e descobrir qual é a equação desse plano. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre equações de planos no espaço tridimensional e como verificar se todos os pontos de uma curva satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os componentes da função
. Ela nos dá as coordenadas
,
e
de qualquer ponto na curva para um valor específico de
:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar uma relação linear entre
,
e
que seja válida para todos os pontos da curva. Essa relação será a equação do plano onde a curva está contida. Para isso, vamos tentar eliminar o parâmetro
das equações.
Passo 4
Observando as expressões para
e
, vemos que ambas dependem de . Vamos expressar em termos de
:
Agora, substituímos na equação de
:
Passo 5
Rearranjando a equação acima para colocá-la na forma padrão de uma equação de plano, temos:
Isso significa que para qualquer ponto
na curva, a equação
será satisfeita.
Passo 6
Portanto, mostramos que todos os pontos da curva
satisfazem a equação
. Isso confirma que a curva está totalmente contida no plano definido por essa equação, ou seja, a curva é plana.
Resposta
A curva
é uma curva plana e está contida no plano cuja equação é
.
Exercícios relacionados
Seja
uma curva, definida por
.
Determine o ponto no qual a tangente à curva seja ortogonal ao vetor
;
Determine o ponto
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Seja
, dada por
Obtenha a equação cartesiana do plano osculador de
no ponto
.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.