Obtenha a equação cartesiana do plano osculador de no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no espaço definida por para . A nossa missão é encontrar a equação cartesiana do plano osculador da curva no ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores tangentes e normais, e como eles definem o plano osculador.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto está realmente na curva. Para isso, precisamos encontrar um valor de que satisfaça .
Resolvendo a primeira equação:
Vamos escolher . Agora, verificamos nas outras equações:
Tudo confere! O ponto está na curva para .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto . O vetor tangente é dado pela derivada da função em relação a .
Calculando em :
Então, o vetor tangente no ponto é .
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar o vetor normal principal, que é a segunda derivada da função normalizada em relação ao comprimento da primeira derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Novamente, em :
Então, o vetor normal principal é .
Passo 5
O plano osculador é o plano que contém o vetor tangente e o vetor normal principal no ponto . Para encontrar a equação desse plano, precisamos determinar um vetor normal ao plano, que é dado pelo produto vetorial de e .
Calculando :
Então, o vetor normal ao plano osculador é .
Passo 6
Com o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:
Podemos simplificar dividindo tudo por 5:
Resposta
A equação cartesiana do plano osculador da curva no ponto é: