Seja alpha: [0, infinito) -> R^3, dada por
α(t) = (3 sen t, 1 - 5 cos t, -4 sen t), t ≥ 0
Obtenha a equação cartesiana do plano osculador de alpha no ponto P = (3, 1, -4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no espaço definida por para . A nossa missão é encontrar a equação cartesiana do plano osculador da curva no ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores tangentes e normais, e como eles definem o plano osculador.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto está realmente na curva. Para isso, precisamos encontrar um valor de que satisfaça .
Resolvendo a primeira equação:
Vamos escolher . Agora, verificamos nas outras equações:
Tudo confere! O ponto está na curva para .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto . O vetor tangente é dado pela derivada da função em relação a .
Calculando em :
Então, o vetor tangente no ponto é .

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar o vetor normal principal, que é a segunda derivada da função normalizada em relação ao comprimento da primeira derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Novamente, em :
Então, o vetor normal principal é .

Passo 5

O plano osculador é o plano que contém o vetor tangente e o vetor normal principal no ponto . Para encontrar a equação desse plano, precisamos determinar um vetor normal ao plano, que é dado pelo produto vetorial de e .
Calculando :
Então, o vetor normal ao plano osculador é .

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:
Podemos simplificar dividindo tudo por 5:

Resposta

A equação cartesiana do plano osculador da curva no ponto é:

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