Mostre que as funções definidas em e , com , tem a mesma transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas para todos os números reais positivos:
  1. Função f(t):
  2. Função g(t): é igual a para todo diferente de e igual a quando , onde pertence ao conjunto .
O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Nosso objetivo é mostrar que ambas as funções e têm a mesma Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Para uma função , a Transformada de Laplace é dada por:
Onde é uma variável complexa. Agora, vamos aplicar essa definição às duas funções e .

Passo 3

Vamos calcular a Transformada de Laplace da função :
Este é um integral padrão que podemos resolver usando integração por partes ou consultando uma tabela de transformadas de Laplace. O resultado conhecido é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace da função . A função é igual a para todos os diferentes de e igual a quando .
Vamos dividir a integração em duas partes: uma onde e outra onde . Porém, como são apenas pontos específicos e a Transformada de Laplace envolve uma integral contínua, a contribuição desses pontos isolados para a integral é nula. Isso porque, em uma integral, a contribuição de pontos isolados não afeta o valor final.
Portanto, podemos considerar que:

Passo 5

Concluímos que, apesar de ter valores diferentes em pontos específicos , essas diferenças não afetam a Transformada de Laplace devido à natureza da integral contínua. Assim, a Transformada de Laplace de é a mesma que a de .

Resposta

As funções e têm a mesma Transformada de Laplace, que é .

Exercícios relacionados

Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:

( 1,0 ponto
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: é analítica em .
Calcule:
Calcule: Use a propriedade 3 para encontrar