Mostre que as funções definidas em
e
, com
, tem a mesma transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas para todos os números reais positivos:
- Função f(t):
- Função g(t):
é igual a para todo diferente de e igual a quando , onde pertence ao conjunto .
O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Nosso objetivo é mostrar que ambas as funções
e
têm a mesma Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Para uma função
, a Transformada de Laplace é dada por:
Onde
é uma variável complexa. Agora, vamos aplicar essa definição às duas funções
e
.
Passo 3
Vamos calcular a Transformada de Laplace da função
:
Este é um integral padrão que podemos resolver usando integração por partes ou consultando uma tabela de transformadas de Laplace. O resultado conhecido é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace da função
. A função
é igual a
para todos os
diferentes de
e igual a
quando
.
Vamos dividir a integração em duas partes: uma onde
e outra onde
. Porém, como
são apenas pontos específicos e a Transformada de Laplace envolve uma integral contínua, a contribuição desses pontos isolados para a integral é nula. Isso porque, em uma integral, a contribuição de pontos isolados não afeta o valor final.
Portanto, podemos considerar que:
Passo 5
Concluímos que, apesar de
ter valores diferentes em pontos específicos
, essas diferenças não afetam a Transformada de Laplace devido à natureza da integral contínua. Assim, a Transformada de Laplace de
é a mesma que a de
.
Resposta
As funções
e
têm a mesma Transformada de Laplace, que é
.
Exercícios relacionados
Esboce a região de integraçāo e mude a ordem de integração:
( 1,0 ponto
( 1,0 ponto
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
é analítica em
.
Calcule:
Calcule: Use a propriedade 3 para encontrar