(a) Identifique gamma como sendo uma reta ou um círculo, conforme seja a = 0 ou d = 0.
(b) Determine a imagem da curva gamma pela transformação T(x, y) = (x/(x^2 + y^2), -y/(x^2 + y^2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois itens para resolver aqui. No item (a), precisamos identificar a curva γ como sendo uma reta ou um círculo, dependendo se ou . No item (b), temos que descobrir como a curva γ se comporta quando aplicamos a transformação . Para resolver isso, vamos precisar entender as equações de reta e círculo e como aplicar transformações em curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o item (a). Uma reta pode ser representada pela equação , onde é a inclinação e é o intercepto. Já um círculo tem a forma , onde é o centro e é o raio.

Passo 3

Agora, considerando , vamos ver o que isso significa para a equação da curva γ. Se , a equação provavelmente simplifica para uma forma linear, semelhante a uma reta. Isso porque o termo que envolve poderia estar relacionado a um termo quadrático, que quando zero, reduz a equação a uma forma linear.

Passo 4

Por outro lado, se , isso pode eliminar termos lineares na equação da curva γ, deixando apenas termos quadráticos. Isso indica que a curva é circular, já que equações quadráticas em e geralmente representam círculos ou outras conicções.

Passo 5

Então, resumindo o item (a): se , γ é uma reta, e se , γ é um círculo. Isso porque os valores de e determinam se a equação da curva terá termos lineares ou quadráticos.

Passo 6

Agora, vamos para o item (b). Queremos encontrar a imagem da curva γ sob a transformação . Essa transformação é uma forma de inversão, que mapeia pontos no plano de uma maneira específica.

Passo 7

Para aplicar a transformação, vamos substituir e na equação da curva γ pelas novas expressões dadas por . Isso vai nos dar a nova equação da curva transformada. Dependendo se γ é uma reta ou um círculo, o resultado será uma nova reta ou um novo círculo com propriedades diferentes.

Resposta

(a) Quando , a curva γ é uma reta. Quando , γ é um círculo.
(b) A imagem da curva γ pela transformação é uma nova curva que resulta da aplicação dessa transformação na reta ou círculo original, invertendo e ajustando sua posição no plano.

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