(a) Identifique
como sendo uma reta ou um círculo, conforme seja
ou
.
(b) Determine a imagem da curva
pela transformação
.
(b) Determine a imagem da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois itens para resolver aqui. No item (a), precisamos identificar a curva γ como sendo uma reta ou um círculo, dependendo se
ou
. No item (b), temos que descobrir como a curva γ se comporta quando aplicamos a transformação
. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações de reta e círculo e como aplicar transformações em curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o item (a). Uma reta pode ser representada pela equação
, onde
é a inclinação e
é o intercepto. Já um círculo tem a forma
, onde
é o centro e
é o raio.
Passo 3
Agora, considerando
, vamos ver o que isso significa para a equação da curva γ. Se
, a equação provavelmente simplifica para uma forma linear, semelhante a uma reta. Isso porque o termo que envolve
poderia estar relacionado a um termo quadrático, que quando zero, reduz a equação a uma forma linear.
Passo 4
Por outro lado, se
, isso pode eliminar termos lineares na equação da curva γ, deixando apenas termos quadráticos. Isso indica que a curva é circular, já que equações quadráticas em
e
geralmente representam círculos ou outras conicções.
Passo 5
Então, resumindo o item (a): se
, γ é uma reta, e se
, γ é um círculo. Isso porque os valores de
e
determinam se a equação da curva terá termos lineares ou quadráticos.
Passo 6
Agora, vamos para o item (b). Queremos encontrar a imagem da curva γ sob a transformação
. Essa transformação é uma forma de inversão, que mapeia pontos no plano de uma maneira específica.
Passo 7
Para aplicar a transformação, vamos substituir
e
na equação da curva γ pelas novas expressões dadas por
. Isso vai nos dar a nova equação da curva transformada. Dependendo se γ é uma reta ou um círculo, o resultado será uma nova reta ou um novo círculo com propriedades diferentes.
Resposta
(a) Quando
, a curva γ é uma reta. Quando
, γ é um círculo.
(b) A imagem da curva γ pela transformação é uma nova curva que resulta da aplicação dessa transformação na reta ou círculo original, invertendo e ajustando sua posição no plano.
(b) A imagem da curva γ pela transformação
Exercícios relacionados
Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
(a) Calcule o jacobiano da transformação
e de sua inversa.
(b) Calcule as derivadas , no ponto em que
e
.
(b) Calcule as derivadas
O custo da produção de
quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina é
dólares.
(a) Qual o significado da derivada ? Quais são suas unidades?
(a) Qual o significado da derivada
O custo da produção de
quilogramas de ouro provenientes de uma nova mina é
dólares.
(b) O que significa a afirmativa ?
(b) O que significa a afirmativa