Esboce a região limitada pelos gráficos das equações
f(x)=x^2+2 x+1 e g(x)=3 x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar a região que fica entre os gráficos das equações e . Isso envolve entender onde essas curvas se encontram e como elas se comportam. Para isso, vamos precisar calcular os pontos de interseção e analisar qual função está acima da outra nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se cruzam. Para isso, igualamos x^2 + 2x + 1 = 3x + 3 e :

Passo 3

Vamos resolver essa equação passo a passo. Subtraímos x^2 + 2x + 1 - 3x - 3 = 0 de ambos os lados para deixar a equação igual a zero:
x^2 - x - 2 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .

Passo 5

Calculando o discriminante ( De):
x = 1 pm 32
Como x1 = 1 + 32 = 2 , temos duas soluções reais:
x2 = 1 - 32 = -1
Então:

Passo 6

Agora que temos os valores de g(2) = 3(2) + 3 = 6 + 3 = 9 , vamos encontrar os respectivos valores de g(-1) = 3(-1) + 3 = -3 + 3 = 0 substituindo em uma das funções, vamos usar :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 7

Com os pontos de interseção determinados, vamos analisar qual função está acima da outra entre f(0) = 0^2 + 2(0) + 1 = 1 e g(0) = 3(0) + 3 = 3 . Vamos escolher um valor de nesse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 8

Agora, vamos esboçar os gráficos:
  • é uma parábola que abre para cima, com vértice no ponto .
  • é uma reta crescente que passa pelos pontos e .
A região limitada por essas duas curvas fica entre e , com a reta acima da parábola.

Resposta

A região limitada pelos gráficos das equações e está entre e , compreendendo o espaço onde a reta está acima da parábola .

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