Esboce a região limitada pelos gráficos das equações

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar a região que fica entre os gráficos das equações e . Isso envolve entender onde essas curvas se encontram e como elas se comportam. Para isso, vamos precisar calcular os pontos de interseção e analisar qual função está acima da outra nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se cruzam. Para isso, igualamos e :

Passo 3

Vamos resolver essa equação passo a passo. Subtraímos de ambos os lados para deixar a equação igual a zero:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .

Passo 5

Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas soluções reais:
Então:

Passo 6

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os respectivos valores de substituindo em uma das funções, vamos usar :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 7

Com os pontos de interseção determinados, vamos analisar qual função está acima da outra entre e . Vamos escolher um valor de nesse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 8

Agora, vamos esboçar os gráficos:
  • é uma parábola que abre para cima, com vértice no ponto .
  • é uma reta crescente que passa pelos pontos e .
A região limitada por essas duas curvas fica entre e , com a reta acima da parábola.

Resposta

A região limitada pelos gráficos das equações e está entre e , compreendendo o espaço onde a reta está acima da parábola .

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