Esboce a regiāo do plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condinções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa esboçar uma região no plano usando coordenadas polares, que são uma forma de localizar pontos usando um raio
e um ângulo
. As condições que temos são
e
. Isso significa que estamos procurando por todos os pontos que estão a uma distância entre 2 e 4 unidades do centro e que fazem um ângulo entre 0 e
radianos com o eixo positivo das
. Para resolver isso, vamos entender o que cada condição representa e como desenhar essa região no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o
, que representa a distância do ponto até a origem (o centro do plano). A condição
significa que queremos todos os pontos que estão a pelo menos 2 unidades e no máximo 4 unidades de distância da origem. Geometricamente, isso forma dois círculos concêntricos: um com raio 2 e outro com raio 4. A região entre esses dois círculos é chamada de anel ou região anular.
Passo 3
Agora, vamos considerar o
, que é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo das
. A condi��ão
restringe esse ângulo para valores entre 0 e
radianos, ou seja, de 0 a 180 graus. Isso significa que estamos interessados apenas na metade superior do plano polar, da direita para a esquerda.
Passo 4
Combinando as duas condições,
e
, a região que queremos esboçar é a parte do anel entre os raios 2 e 4, mas apenas na metade superior do plano. Então, imagine um anel de raio 2 a 4, e corte esse anel pela linha vertical que vai do centro para cima e para baixo. A parte que está do lado direito (onde
) até o lado esquerdo (onde
) é a região que precisamos desenhar.
Resposta
A região descrita é um setor anular no plano polar, limitado pelos círculos de raio 2 e 4 unidades e abrangendo os ângulos de
a
radianos. Isso se parece com uma espécie de “fatia de anel” que vai do lado direito ao esquerdo do plano.
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,
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,
(2,5 ptos) Encontre a transformação linear
tal que:
(2,5 ptos) Considere
tal que
e
. Determine a matriz da transformação associada às bases canônicas de
e
.