Esboce a regiâo do plano limitada pelas funģ̄es
e
. Calcule a área correspondente tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que desenhar a região no plano que é limitada pelas funções
e
no intervalo de
entre 0 e 2. Vamos usar conhecimentos de cálculo, como encontrar a área entre curvas, para resolver isso. Precisaremos entender como essas funções se comportam e como calcular integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as duas funções no gráfico para entender como elas se relacionam. A função
é uma raiz quadrada que começa em (0,0) e cresce de forma concava. Já
é uma linha reta que também passa por (0,0) e sobe de forma linear. No intervalo de 0 a 2, vamos ver onde cada uma está maior que a outra.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de intersecção das duas funções para saber onde uma começa a ser maior que a outra. Igualando
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então,
ou
. Portanto, as funções se encontram em
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar qual função está por cima no intervalo de 0 a 1 e de 1 a 2:
- Para
: - Para
:
Isso nos ajuda a saber como configurar a integral para calcular a área entre as curvas.
Passo 5
A área
entre as duas funções de 0 a 2 é a soma das áreas de 0 a 1 e de 1 a 2:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro,
:
Então,
Segundo,
:
Então,
Resposta
A área da região limitada pelas funções
e
no intervalo
é: