Esboce a regiâo do plano limitada pelas funģ̄es e . Calcule a área correspondente tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que desenhar a região no plano que é limitada pelas funções e no intervalo de entre 0 e 2. Vamos usar conhecimentos de cálculo, como encontrar a área entre curvas, para resolver isso. Precisaremos entender como essas funções se comportam e como calcular integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar as duas funções no gráfico para entender como elas se relacionam. A função é uma raiz quadrada que começa em (0,0) e cresce de forma concava. Já é uma linha reta que também passa por (0,0) e sobe de forma linear. No intervalo de 0 a 2, vamos ver onde cada uma está maior que a outra.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de intersecção das duas funções para saber onde uma começa a ser maior que a outra. Igualando :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, ou . Portanto, as funções se encontram em e .

Passo 4

Agora, vamos determinar qual função está por cima no intervalo de 0 a 1 e de 1 a 2:
  • Para :
  • Para :
Isso nos ajuda a saber como configurar a integral para calcular a área entre as curvas.

Passo 5

A área entre as duas funções de 0 a 2 é a soma das áreas de 0 a 1 e de 1 a 2:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, :
Então,
Segundo, :
Então,

Resposta

A área da região limitada pelas funções e no intervalo é:
á

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