Esboce a regiâo do plano limitada pelas funģ̄es
e
. Calcule a área correspondente tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que desenhar a região no plano que é limitada pelas funções
e
no intervalo de
entre 0 e 2. Vamos usar conhecimentos de cálculo, como encontrar a área entre curvas, para resolver isso. Precisaremos entender como essas funções se comportam e como calcular integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as duas funções no gráfico para entender como elas se relacionam. A função
é uma raiz quadrada que começa em (0,0) e cresce de forma concava. Já
é uma linha reta que também passa por (0,0) e sobe de forma linear. No intervalo de 0 a 2, vamos ver onde cada uma está maior que a outra.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de intersecção das duas funções para saber onde uma começa a ser maior que a outra. Igualando
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então,
ou
. Portanto, as funções se encontram em
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar qual função está por cima no intervalo de 0 a 1 e de 1 a 2:
- Para
: - Para
:
Isso nos ajuda a saber como configurar a integral para calcular a área entre as curvas.
Passo 5
A área
entre as duas funções de 0 a 2 é a soma das áreas de 0 a 1 e de 1 a 2:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro,
:
Então,
Segundo,
:
Então,
Resposta
A área da região limitada pelas funções
e
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula ao longo do eixo
depende do tempo de acordo com a equação
, onde
está em metros
segundos. © Qual o comprimento total da trajetória percorrida pela partícula nos primeiros 4 segundos? A partir de agora, admita que os valores numéricos, em unidades SI, são 3,0 e 1,0 , respectivamente.
Em Teoria da Probabilidade e Estatística uma função
para variáveis aleatórias contínuas é chamada de função densidade de probabilidade se satisfazer as seguintes condições
(a)
(b)
em que os limites de integraçio correspondem ao domínio assumido peln funçĩo .
Mostre que a função a seguir é uma funçâo densidade de probabilidade.
(a)
(b)
em que os limites de integraçio correspondem ao domínio assumido peln funçĩo
Mostre que a função a seguir é uma funçâo densidade de probabilidade.
em que
e
sióo constantes c
. Calcule
.
Outras quantidades importantes e de interesse são dadas, respectivamente, pela Esperança, e Variância,
de una variável aleatóriı. A esperanga e a variância podem ser definidas da seguinte forma
(a)
(b)
Desta forma, calcule a esperança e a varianncia da funçũo dada acima. Ou seja, para a Esperança do item (a) calcule e para a Variància calcule
e utilize a fórmula do
Outras quantidades importantes e de interesse são dadas, respectivamente, pela Esperança,
(a)
(b)
Desta forma, calcule a esperança e a varianncia da funçũo dada acima. Ou seja, para a Esperança do item (a) calcule
A posição de uma partícula ao longo do eixo
depende do tempo de acordo com a equação
, onde
está em metros
segundos. (f) Qual é a aceleração da partícula ao final de cada um dos 4 primeiros segundos? A partir de agora, admita que os valores numéricos, em unidades SI, são 3,0 e 1,0 , respectivamente.
Uma partícula que se movimenta ao longo do sentido positivo de
possui as seguintes posições para vários instantes de tempo:
|
0,080 | 0,050 | 0,040 | 0,050 | 0,080 | 0,13 | 0,20 |
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
(a) Trace o deslocamento (não é posiçâo) versus tempo.