A posição de uma partícula ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a equação x = A t^2 - B t^3, onde x está em metros e t em segundos. (f) Qual é a aceleração da partícula ao final de cada um dos 4 primeiros segundos? A partir de agora, admita que os valores numéricos, em unidades SI, são 3,0 e 1,0 , respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a posição de uma partícula no eixo em função do tempo, segundo a equação . Nosso objetivo é encontrar a aceleração da partícula ao final de cada um dos 4 primeiros segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para obter velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a posição nos dá onde a partícula está em um determinado tempo . Para encontrar a velocidade, que é a taxa de variação da posição, vamos derivar em relação ao tempo .
A velocidade é a primeira derivada de :

Passo 3

Agora, a aceleração é a taxa de variação da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar :

Passo 4

Com a expressão da aceleração em mãos, podemos calcular os valores para os 4 primeiros segundos. Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na equação da aceleração:
Agora, vamos calcular para , , e segundos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A aceleração da partícula ao final de cada um dos 4 primeiros segundos é:

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