Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região e encontrar a área dela. A região é definida por:
Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente integrais para calcular áreas. Vamos precisar entender como essas desigualdades definem a região no plano e, depois, usar a integral para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Temos duas desigualdades para :
E para :
Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada valor de nesse intervalo, varia de até 3.
Vamos esboçar as curvas que delimitam :
: Essa é a parte superior da parábola que abre para a direita.
: Essa é uma linha horizontal.
Com entre 0 e 1, a região fica entre a curva e a linha , no intervalo de de 0 a 1.
Passo 3
Agora que temos a ideia da região, vamos calcular a área dela. A forma mais fácil é integrar a diferença entre as funções que delimitam , no intervalo de de 0 a 1.
A fórmula da área é:
Aqui, e , com e .
Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiramente, separamos a integral: