Esboce a região e encontre sua área:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região e encontrar a área dela. A região é definida por:
Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente integrais para calcular áreas. Vamos precisar entender como essas desigualdades definem a região no plano e, depois, usar a integral para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos duas desigualdades para :
E para :
Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada valor de nesse intervalo, varia de até 3.
Vamos esboçar as curvas que delimitam :
  1. : Essa é a parte superior da parábola que abre para a direita.
  2. : Essa é uma linha horizontal.
Com entre 0 e 1, a região fica entre a curva e a linha , no intervalo de de 0 a 1.

Passo 3

Agora que temos a ideia da região, vamos calcular a área dela. A forma mais fácil é integrar a diferença entre as funções que delimitam , no intervalo de de 0 a 1.
A fórmula da área é:
Aqui, e , com e .
Então, substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiramente, separamos a integral:
Calculando cada parte:

Passo 5

Agora, subtraímos os resultados das integrais:
Portanto, a área da região é .

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Nos problemas de 1 à 4 , encontre a soluqão geral do EDO:
Prove que se , então .
Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por: , em torno da reta .