Esboce as regiões do plano xy definidas pelas equações ou inequações.
x^2 + y^2 < 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar (ou seja, desenhar) as regiões do plano definidas pela inequação . Isso está relacionado à geometria analítica, mais especificamente às equações de círculos. Para resolver essa questão, vamos precisar entender o que representa essa inequação no plano cartesiano e como podemos desenhá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é a inequação de um círculo. A forma geral da equação de um círculo é , onde é o raio do círculo e o centro está na origem (0,0). No nosso caso, temos , então comparando com a fórmula geral, . Isso nos ajuda a encontrar o raio.

Passo 3

Agora, vamos calcular o raio . Sabemos que , então tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, o raio do nosso círculo é 2 unidades.

Passo 4

A inequação é , que é uma inequação do tipo “menor que”. Isso significa que estamos falando de todos os pontos que estão dentro do círculo com raio 2 e centro na origem. Se fosse “maior que”, seria a região fora do círculo. Mas como é “menor que”, vamos focar na área interna.

Passo 5

Agora que já sabemos que temos um círculo de raio 2 centrado na origem e que queremos a região dentro dele, vamos ao esboço:
  1. Desenhe um sistema de eixos e .
  2. Marque o ponto (0,0) como o centro do círculo.
  3. Usando um compasso ou livre de mão, desenhe um círculo com raio 2 ao redor do centro.
  4. Como a inequação é “menor que”, a área que nos interessa é toda a região dentro desse círculo. Podemos sombrear essa área para ficar mais claro.

Resposta

A região definida por é o conjunto de todos os pontos dentro do círculo de raio 2, centrado na origem do plano . No gráfico, isso é representado por um círculo com raio 2, onde toda a área interna está incluída na região solution.

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