Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. integral0^pi / 6 integral0^pi / 2 integral0^3 rho^2 sen phi d rho d theta d phi

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo de volume usando integrais em coordenadas esféricas. O que precisamos fazer é esboçar o sólido definido pela integral e calcular o volume dele. Para isso, vamos usar a fórmula da integral tripla em coordenadas esféricas, que envolve as variáveis (raio), (ângulo azimutal) e (ângulo polar).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral0^pi / 6 integral0^pi / 2 integral0^3 rho^2 sin phi , drho , dtheta , dphi
Isso significa que varia de 0 a 3, de 0 a e de 0 a .

Passo 3

Vamos integrar em relação a integral0^3 rho^2 , drho primeiro. A parte da integral que envolve [rho^33]0^3 = 273 - 0 = 9 é:
A integral de em relação a é . Avaliando de 0 a 3:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral0^pi / 2 dtheta :
[theta]0^pi/2 = pi2 - 0 = pi2
Isso é simples, já que a integral de 1 em relação a é . Avaliando de 0 a :

Passo 5

Por último, vamos integrar em relação a integral0^pi / 6 sin phi , dphi :
[-cos phi]0^pi/6 = -cos(pi6) + cos(0) = -(raiz32) + 1 = 1 - raiz32
A integral de em relação a é . Avaliando de 0 a :

Resposta

Multiplicando os resultados das três integrais:
9 times pi2 times (1 - raiz32) = 9pi2 (1 - raiz32) = 9pi (2 - raiz3)4
Portanto, o volume do sólido é unidades cúbicas.

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