Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo de volume usando integrais em coordenadas esféricas. O que precisamos fazer é esboçar o sólido definido pela integral e calcular o volume dele. Para isso, vamos usar a fórmula da integral tripla em coordenadas esféricas, que envolve as variáveis
(raio),
(ângulo azimutal) e
(ângulo polar).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Isso significa que
varia de 0 a 3,
de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 3
Vamos integrar em relação a
primeiro. A parte da integral que envolve
é:
A integral de
em relação a
é
. Avaliando de 0 a 3:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
:
Isso é simples, já que a integral de 1 em relação a
é
. Avaliando de 0 a
:
Passo 5
Por último, vamos integrar em relação a
:
A integral de
em relação a
é
. Avaliando de 0 a
:
Resposta
Multiplicando os resultados das três integrais:
Portanto, o volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
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, onde
é a porção da bola unitária
que fica no primeiro octante.
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, onde
é o hemisfério sólido
.