Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo de volume usando integrais em coordenadas esféricas. O que precisamos fazer é esboçar o sólido definido pela integral e calcular o volume dele. Para isso, vamos usar a fórmula da integral tripla em coordenadas esféricas, que envolve as variáveis (raio), (ângulo azimutal) e (ângulo polar).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Isso significa que varia de 0 a 3, de 0 a e de 0 a .

Passo 3

Vamos integrar em relação a primeiro. A parte da integral que envolve é:
A integral de em relação a é . Avaliando de 0 a 3:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a :
Isso é simples, já que a integral de 1 em relação a é . Avaliando de 0 a :

Passo 5

Por último, vamos integrar em relação a :
A integral de em relação a é . Avaliando de 0 a :

Resposta

Multiplicando os resultados das três integrais:
Portanto, o volume do sólido é unidades cúbicas.

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