Utilize coordenadas esféricas. Calcule , onde é a porção da bola unitária que fica no primeiro octante.

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos calcular a integral tripla , onde é a parte da bola unitária definida por que está no primeiro octante. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam a integração em regiões esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas para converter coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas :
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos trabalhando no primeiro octante da bola unitária:
  • O raio varia de a .
  • O ângulo polar varia de a .
  • O ângulo azimutal varia de a .

Passo 4

Substituindo as coordenadas esféricas na integral original, temos:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Vamos calcular a integral em relação a primeiro:
Fazendo a substituição , então , o que nos dá:
A integral de é , então:

Passo 6

Substituindo o resultado da integral em na expressão principal:
Podemos separar as integrais:

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:
Sabemos que:
Aplicando os limites:

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

O valor da integral é .

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
Utilize coordenadas esféricas. Calcule , onde é o hemisfério sólido .
Utilize coordenadas esféricas. Calcule , onde está entre as esferas e .