Utilize coordenadas esféricas. Calcule , onde é a porção da bola unitária que fica no primeiro octante.
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos calcular a integral tripla , onde é a parte da bola unitária definida por que está no primeiro octante. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam a integração em regiões esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas para converter coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas :
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos trabalhando no primeiro octante da bola unitária:
O raio varia de a .
O ângulo polar varia de a .
O ângulo azimutal varia de a .
Passo 4
Substituindo as coordenadas esféricas na integral original, temos:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Vamos calcular a integral em relação a primeiro:
Fazendo a substituição , então , o que nos dá:
A integral de é , então:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral em na expressão principal: