Utilize coordenadas esféricas. Calcule integral triplaE x e^x^2+y^2+z^2 d V, onde E é a porção da bola unitária x^2+y^2+z^2 <= 1 que fica no primeiro octante.

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos calcular a integral tripla integral triplaE x e^x^2+y^2+z^2 dV, onde E é a parte da bola unitária definida por x^2+y^2+z^2 <= 1 que está no primeiro octante. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam a integração em regiões esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas para converter coordenadas cartesianas (x, y, z) em coordenadas esféricas (r, phi, theta):
x = r sinphi costheta
y = r sinphi sintheta
z = r cosphi
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos trabalhando no primeiro octante da bola unitária:
  • O raio r varia de 0 a 1.
  • O ângulo polar phi varia de 0 a pi2.
  • O ângulo azimutal theta varia de 0 a pi2.

Passo 4

Substituindo as coordenadas esféricas na integral original, temos:
integral triplaE x e^x^2+y^2+z^2 dV = integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 (r sinphi costheta) e^r^2 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 r^3 sin^2phi costheta e^r^2 , dr , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos calcular a integral em relação a r primeiro:
integral0^1 r^3 e^r^2 , dr
Fazendo a substituição u = r^2, então du = 2r , dr, o que nos dá:
integral0^1 r^3 e^r^2 , dr = 12 integral0^1 u e^u , du
A integral de u e^u é u e^u - e^u, então:
12 [ u e^u - e^u ]0^1 = 12 ( (1 cdot e^1 - e^1) - (0 - e^0) ) = 12 (0 + 1) = 12

Passo 6

Substituindo o resultado da integral em r na expressão principal:
12 integral0^pi2 integral0^pi2 sin^2phi costheta , dphi , dtheta
Podemos separar as integrais:
12 ( integral0^pi2 costheta , dtheta ) ( integral0^pi2 sin^2phi , dphi )

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
Primeira integral:
integral0^pi2 costheta , dtheta = sintheta gr|0^pi2 = 1 - 0 = 1
Segunda integral:
integral0^pi2 sin^2phi , dphi
Sabemos que:
integral sin^2phi , dphi = phi2 - sin(2phi)4 + C
Aplicando os limites:
[ phi2 - sin(2phi)4 ]0^pi2 = ( pi4 - 0 ) - (0 - 0) = pi4

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:
12 times 1 times pi4 = pi8

Resposta

O valor da integral é pi8.

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