Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o sólido descrito pelas desigualdades dadas em coordenadas esféricas. As inequações são:
Vamos precisar entender o sistema de coordenadas esféricas e como cada uma dessas desigualdades define partes do sólido que queremos esboçar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada símbolo representa no sistema de coordenadas esféricas:
-
(rho): é a distância do ponto à origem. -
(phi): é o ângulo entre a linha que vai da origem até o ponto e o eixo positivo z. -
(theta): é o ângulo entre a projeção do ponto no plano xy e o eixo positivo x.
Agora, vamos analisar cada desigualdade:
-
: Isso significa que estamos considerando todos os pontos que estão entre uma esfera de raio 2 e outra de raio 4, ambas centradas na origem. -
: Aqui, vai de 0 até . O ângulo está no eixo positivo z, e à medida que aumenta, a linha se inclina em direção ao plano xy. Até , estamos limitado a uma “casca” que não se estende até o plano xy. -
: O ângulo varia de 0 a , ou seja, começa no eixo positivo x e vai até o eixo negativo x passando pelo eixo y positivo. Isso restringe o sólido para metade do espaço em torno do eixo z.
Passo 3
Vamos juntar tudo isso para visualizar o sólido:
-
Entre duas esferas: O sólido está localizado entre as esferas de raio 2 e 4. Então, imaginamos uma “casca” esférica.
-
Limitação angular em
: Com entre 0 e , estamos pegando apenas a parte dessa casca que está dentro do cone com abertura de em relação ao eixo z. É como cortar essa casca superiormente por esse ângulo. -
Limitação em
: Com entre 0 e , estamos considerando apenas a metade dessa casca (como se fosse cortar a casca pela metade ao longo do plano yz).
Resposta
O sólido descrito pelas desigualdades é uma porção de uma casca esférica com raio entre 2 e 4, confinada dentro de um cone de abertura de
(ou
radianos) em relação ao eixo z e estendendo-se de 0 a
radianos ao redor do eixo z. Basicamente, visualize uma “fatia” de uma casca esférica, limitada angularmente tanto em
quanto em
.
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