Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o sólido descrito pelas desigualdades dadas em coordenadas esféricas. As inequações são:
Vamos precisar entender o sistema de coordenadas esféricas e como cada uma dessas desigualdades define partes do sólido que queremos esboçar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada símbolo representa no sistema de coordenadas esféricas:
  • (rho): é a distância do ponto à origem.
  • (phi): é o ângulo entre a linha que vai da origem até o ponto e o eixo positivo z.
  • (theta): é o ângulo entre a projeção do ponto no plano xy e o eixo positivo x.
Agora, vamos analisar cada desigualdade:
  1. : Isso significa que estamos considerando todos os pontos que estão entre uma esfera de raio 2 e outra de raio 4, ambas centradas na origem.
  2. : Aqui, vai de 0 até . O ângulo está no eixo positivo z, e à medida que aumenta, a linha se inclina em direção ao plano xy. Até , estamos limitado a uma “casca” que não se estende até o plano xy.
  3. : O ângulo varia de 0 a , ou seja, começa no eixo positivo x e vai até o eixo negativo x passando pelo eixo y positivo. Isso restringe o sólido para metade do espaço em torno do eixo z.

Passo 3

Vamos juntar tudo isso para visualizar o sólido:
  • Entre duas esferas: O sólido está localizado entre as esferas de raio 2 e 4. Então, imaginamos uma “casca” esférica.
  • Limitação angular em : Com entre 0 e , estamos pegando apenas a parte dessa casca que está dentro do cone com abertura de em relação ao eixo z. É como cortar essa casca superiormente por esse ângulo.
  • Limitação em : Com entre 0 e , estamos considerando apenas a metade dessa casca (como se fosse cortar a casca pela metade ao longo do plano yz).

Resposta

O sólido descrito pelas desigualdades é uma porção de uma casca esférica com raio entre 2 e 4, confinada dentro de um cone de abertura de (ou radianos) em relação ao eixo z e estendendo-se de 0 a radianos ao redor do eixo z. Basicamente, visualize uma “fatia” de uma casca esférica, limitada angularmente tanto em quanto em .

Exercícios relacionados

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.