Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para esboçar o sólido definido pelas desigualdades e . Vamos usar coordenadas esféricas para isso. Coordenadas esféricas são ótimas para descrever objetos em 3D usando três parâmetros: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano xy) e (o ângulo em relação ao eixo z). Para resolver, precisaremos entender o que cada desigualdade representa nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a desigualdade . Em coordenadas esféricas, isso descreve uma esfera com raio 2 centrada na origem. Ou seja, todo ponto dentro ou na superfície dessa esfera satisfaz .

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda desigualdade: . A função é o cosecante de , que é definida como . Então, a desigualdade fica .

Passo 4

Para visualizar isso, precisamos ver como varia com . À medida que varia de 0 a , varia de 0 a 1 e de volta a 0. Portanto, vai de infinito a 1 e de volta a infinito. Isso significa que a região definida por é um cone com abertura controlada por .

Passo 5

Agora, precisamos combinar as duas desigualdades. O sólido que queremos é a interseção das duas regiões: dentro da esfera de raio 2 e dentro do cone definido por . Visualmente, isso será a parte da esfera que está também dentro do cone.

Passo 6

Para esboçar, imagine uma esfera de raio 2. Dentro dessa esfera, desenhe um cone que parte da origem e se abre com um ângulo . O sólido resultante será a “fatia” esférica que está dentro do cone. Isso limita a região da esfera onde ambos e são verdadeiros.

Resposta

O sólido é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem que está dentro do cone definido por . Em outras palavras, é a interseção da esfera com o cone .

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