Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para esboçar o sólido definido pelas desigualdades
e
. Vamos usar coordenadas esféricas para isso. Coordenadas esféricas são ótimas para descrever objetos em 3D usando três parâmetros:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo no plano xy) e
(o ângulo em relação ao eixo z). Para resolver, precisaremos entender o que cada desigualdade representa nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a desigualdade
. Em coordenadas esféricas, isso descreve uma esfera com raio 2 centrada na origem. Ou seja, todo ponto dentro ou na superfície dessa esfera satisfaz
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda desigualdade:
. A função
é o cosecante de
, que é definida como
. Então, a desigualdade fica
.
Passo 4
Para visualizar isso, precisamos ver como
varia com
. À medida que
varia de 0 a
,
varia de 0 a 1 e de volta a 0. Portanto,
vai de infinito a 1 e de volta a infinito. Isso significa que a região definida por
é um cone com abertura controlada por
.
Passo 5
Agora, precisamos combinar as duas desigualdades. O sólido que queremos é a interseção das duas regiões: dentro da esfera de raio 2 e dentro do cone definido por
. Visualmente, isso será a parte da esfera que está também dentro do cone.
Passo 6
Para esboçar, imagine uma esfera de raio 2. Dentro dessa esfera, desenhe um cone que parte da origem e se abre com um ângulo
. O sólido resultante será a “fatia” esférica que está dentro do cone. Isso limita a região da esfera onde ambos
e
são verdadeiros.
Resposta
O sólido é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem que está dentro do cone definido por
. Em outras palavras, é a interseção da esfera
com o cone
.
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, onde
é a porção da bola unitária
que fica no primeiro octante.