Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
é o hemisfério sólido
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla de
sobre um hemisfério sólido
, que é definido pela equação
com
. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar essa integração. Para isso, precisamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e quais são os limites de integração para um hemisfério.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto
é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem, -
é o ângulo no plano a partir do eixo , -
é o ângulo a partir do eixo .
As conversões são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para o hemisfério sólido
. Como
é um hemisfério com raio
(já que
) e
, os limites serão:
-
varia de a , -
varia de a (para considerar apenas a metade superior), -
varia de a (completando a volta no plano ).
Passo 4
Vamos reescrever a função
em coordenadas esféricas. Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral tripla:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente:
- Integração em
:
- Integração em
:
Usando a fórmula de integração para potências ímpares de seno:
Aplicando para
:
- Integração em
:
Sabemos que:
Passo 7
Agora, multiplicamos os resultados das integrações:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
é a porção da bola unitária
que fica no primeiro octante.
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
Utilize coordenadas esféricas. Calcule
, onde
está entre as esferas
e
.
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funçōes a seguir:
© , onde
é um inteiro positivo.
©