Utilize coordenadas esféricas. Calcule , onde é o hemisfério sólido .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla de sobre um hemisfério sólido , que é definido pela equação com . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar essa integração. Para isso, precisamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e quais são os limites de integração para um hemisfério.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem,
  • é o ângulo no plano a partir do eixo ,
  • é o ângulo a partir do eixo .
As conversões são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para o hemisfério sólido . Como é um hemisfério com raio (já que ) e , os limites serão:
  • varia de a ,
  • varia de a (para considerar apenas a metade superior),
  • varia de a (completando a volta no plano ).

Passo 4

Vamos reescrever a função em coordenadas esféricas. Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral tripla:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Integração em :
  1. Integração em :
Usando a fórmula de integração para potências ímpares de seno:
Aplicando para :
  1. Integração em :
Sabemos que:

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrações:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funçōes a seguir:
© , onde é um inteiro positivo.