Utilize coordenadas esféricas. Calcule integral triplaE y^2 d V, onde E é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 approx 9, z approx 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla de sobre um hemisfério sólido , que é definido pela equação com . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar essa integração. Para isso, precisamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e quais são os limites de integração para um hemisfério.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto x = rho sinphi costheta é representado por y = rho sinphi sintheta , onde:
  • z = rho cosphi é a distância do ponto até a origem,
  • dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta é o ângulo no plano a partir do eixo ,
  • é o ângulo a partir do eixo .
As conversões são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para o hemisfério sólido . Como é um hemisfério com raio (já que ) e , os limites serão:
  • varia de a ,
  • varia de a (para considerar apenas a metade superior),
  • varia de a (completando a volta no plano ).

Passo 4

Vamos reescrever a função y = rho sinphi sintheta em coordenadas esféricas. Sabemos que:
y^2 = rho^2 sin^2phi sin^2theta
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral tripla:
integral triplaE y^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 rho^2 sin^2phi sin^2theta cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando:
integral triplaE y^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 rho^4 sin^3phi sin^2theta , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Integração em integral0^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^3 = 2435 :
integral0^pi2 sin^3phi , dphi
  1. Integração em integral sin^nphi , dphi = -sin^n-1phi cosphin + n-1n integral sin^n-2phi , dphi :
integral0^pi2 sin^3phi , dphi = 23
Usando a fórmula de integração para potências ímpares de seno:
integral0^2pi sin^2theta , dtheta
Aplicando para integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi :
  1. Integração em :
Sabemos que:

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrações:
integral triplaE y^2 , dV = 2435 times 23 times pi = 48615 pi = 1625 pi

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados