Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que esboçar o sólido definido pelas desigualdades e . Isso está relacionado às coordenadas esféricas, que são usadas para descrever posições no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que cada uma dessas desigualdades representa no sistema de coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre . Na coordenada esférica, representa a distância do ponto até a origem (o centro do sistema de coordenadas). Então, significa que estamos considerando todos os pontos que estão a uma distância igual ou menor que 1 unidade da origem. Geometricamente, isso define uma esfera com raio 1 centrada na origem.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda desigualdade: . Aqui, é o ângulo polar, que é o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo z. O valor radianos corresponde a 180 graus, que é diretamente para baixo no eixo z. Já radianos são 135 graus. Então, estamos olhando para os pontos cujo ângulo polar está entre 135 e 180 graus. Isso significa que estamos considerando apenas a parte inferior da esfera, abaixo de um certo ângulo.

Passo 4

Unindo as duas desigualdades, temos que o sólido é a parte da esfera de raio 1 centrada na origem que está entre os ângulos polares de e . Isso cria uma espécie de “fatia” ou “geruçário” da esfera, abrangendo a parte inferior.

Passo 5

Para esboçar esse sólido, imagine uma esfera de raio 1. Agora, desenhe dois cones imaginários: um com ângulo polar de e outro com graus (que na verdade é o eixo negativo z). O sólido que queremos é a região da esfera que fica entre esses dois cones, ou seja, a parte inferior da esfera a partir de graus até o fundo.

Resposta

O sólido descrito pelas desigualdades e é a região inferior de uma esfera de raio 1, abrangendo todos os pontos dentro da esfera que estão entre os ângulos polares de graus ( rad) e graus ( rad).

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