Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a superfície de nível da função
quando
. Isso está relacionado ao estudo de superfícies de nível em cálculo multivariado, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, entendemos que uma superfície de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação para deixá-la numa forma mais familiar. Dividindo todos os termos por 16, temos:
Simplificando as frações:
Passo 4
Agora, reconhecemos que essa é a equação padrão de um elipsoide, que tem a forma:
Comparando com a nossa equação:
Passo 5
Isso significa que nosso elipsoide tem semi-eixos de comprimento 2 nas direções
e
, e 4 na direção
. Para esboçar:
- No eixo
, se movimentamos de -2 a 2. - No eixo
, de -4 a 4. - No eixo
, de -2 a 2.
Esse formato alongado no eixo
caracteriza o elipsoide.
Resposta
A superfície de nível
é um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimento 2 nas direções
e
, e 4 na direção
. Visualmente, é um elipsoide alongado verticalmente no eixo
.
Exercícios relacionados
Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e
.
Seja
. Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto
.
Se
for a temperatura em um ponto
sobre uma placa delgada de metal, então as curvas de nível de
são as curvas isotérmicas. Suponha uma placa ocupando o primeiro quadrante de um plano munido de coordenadas cartesianas e
. Esboce as curvas isotérmicas para
e
.