Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a superfície de nível da função quando . Isso está relacionado ao estudo de superfícies de nível em cálculo multivariado, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, entendemos que uma superfície de nível é o conjunto de pontos que satisfazem a equação . No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para deixá-la numa forma mais familiar. Dividindo todos os termos por 16, temos:
Simplificando as frações:

Passo 4

Agora, reconhecemos que essa é a equação padrão de um elipsoide, que tem a forma:
Comparando com a nossa equação:

Passo 5

Isso significa que nosso elipsoide tem semi-eixos de comprimento 2 nas direções e , e 4 na direção . Para esboçar:
  • No eixo , se movimentamos de -2 a 2.
  • No eixo , de -4 a 4.
  • No eixo , de -2 a 2.
Esse formato alongado no eixo caracteriza o elipsoide.

Resposta

A superfície de nível é um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimento 2 nas direções e , e 4 na direção . Visualmente, é um elipsoide alongado verticalmente no eixo .

Exercícios relacionados

Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
.
Esboce as curvas de nível para as funções nos níveis indicados.
e .
Seja . Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto .
Se for a temperatura em um ponto sobre uma placa delgada de metal, então as curvas de nível de são as curvas isotérmicas. Suponha uma placa ocupando o primeiro quadrante de um plano munido de coordenadas cartesianas e . Esboce as curvas isotérmicas para e .