Esboce a superfície de nível com os níveis indicados em cada questão.
f(x, y, z) = 4 x^2 + y^2 + 4 z^2, k = 16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a superfície de nível da função quando . Isso está relacionado ao estudo de superfícies de nível em cálculo multivariado, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, entendemos que uma superfície de nível é o conjunto de pontos que satisfazem a equação . No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para deixá-la numa forma mais familiar. Dividindo todos os termos por 16, temos:
Simplificando as frações:

Passo 4

Agora, reconhecemos que essa é a equação padrão de um elipsoide, que tem a forma:
Comparando com a nossa equação:

Passo 5

Isso significa que nosso elipsoide tem semi-eixos de comprimento 2 nas direções e , e 4 na direção . Para esboçar:
  • No eixo , se movimentamos de -2 a 2.
  • No eixo , de -4 a 4.
  • No eixo , de -2 a 2.
Esse formato alongado no eixo caracteriza o elipsoide.

Resposta

A superfície de nível é um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimento 2 nas direções e , e 4 na direção . Visualmente, é um elipsoide alongado verticalmente no eixo .

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