Esboce as superfícies

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a superfície definida pela equação . Isso está relacionado a geometria analítica, especificamente no estudo das superfícies quádricas. Para resolver, vamos identificar que tipo de superfície é essa e quais são suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual tipo de superfície estamos lidando. A equação geral que temos é:
Essa forma se parece com a equação de uma elipsoide, que é uma generalização da esfera onde os eixos têm comprimentos diferentes. Uma esfera tem raio igual em todas as direções, mas na elipsoide, cada eixo pode ter um comprimento distinto.

Passo 3

Vamos entender melhor os componentes da equação. A equação padrão de uma elipsoide centrada na origem é:
Aqui, , e são os semi-eixos da elipsoide nas direções , e , respectivamente. Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que:
Então, os semi-eixos são , e .

Passo 4

Com isso, sabemos que a elipsoide tem:
  • Eixo x: Comprimento total
  • Eixo y: Comprimento total
  • Eixo z: Comprimento total
Isso significa que a elipsoide é mais larga na direção , um pouco mais alta na direção e mais estreita na direção .

Passo 5

Para esboçar a superfície, vamos seguir alguns passos:
  1. Centro: A elipsoide está centralizada na origem .
  2. Interseções com os eixos:
    • Eixo x: Ocorre quando e . A equação fica .
    • Eixo y: Ocorre quando e . A equação fica .
    • Eixo z: Ocorre quando e . A equação fica .
  3. Desenho:
    • Trace os pontos de interseção nos eixos , e .
    • Desenhe uma forma ovalada que passa por esses pontos, lembrando que a elipsoide é uma superfície lisa e simétrica em relação aos três eixos.

Passo 6

Lembre-se que, ao esboçar, não precisamos ser perfeitamente precisos, mas sim capturar a forma geral da elipsoide. A elipsoide vai parecer como uma esfera “esticada” nas direções onde os semi-eixos são maiores. No nosso caso, estará mais “larga” na direção , um pouco “alta” na direção e “estreita” na direção .

Resposta

A superfície é uma elipsoide centralizada na origem, com semi-eixos de comprimento 1 na direção , 3 na direção e 2 na direção . Para esboçar, marca os pontos , e nos respectivos eixos e desenhe uma forma ovalada e simétrica que passa por esses pontos, representando a elipsoide.

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