Esboce as superfícies
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a superfície definida pela equação
. Isso está relacionado a geometria analítica, especificamente no estudo das superfícies quádricas. Para resolver, vamos identificar que tipo de superfície é essa e quais são suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual tipo de superfície estamos lidando. A equação geral que temos é:
Essa forma se parece com a equação de uma elipsoide, que é uma generalização da esfera onde os eixos têm comprimentos diferentes. Uma esfera tem raio igual em todas as direções, mas na elipsoide, cada eixo pode ter um comprimento distinto.
Passo 3
Vamos entender melhor os componentes da equação. A equação padrão de uma elipsoide centrada na origem é:
Aqui,
,
e
são os semi-eixos da elipsoide nas direções
,
e
, respectivamente. Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que:
Então, os semi-eixos são
,
e
.
Passo 4
Com isso, sabemos que a elipsoide tem:
- Eixo x: Comprimento total
- Eixo y: Comprimento total
- Eixo z: Comprimento total
Isso significa que a elipsoide é mais larga na direção
, um pouco mais alta na direção
e mais estreita na direção
.
Passo 5
Para esboçar a superfície, vamos seguir alguns passos:
-
Centro: A elipsoide está centralizada na origem
. -
Interseções com os eixos:
- Eixo x: Ocorre quando
e . A equação fica . - Eixo y: Ocorre quando
e . A equação fica . - Eixo z: Ocorre quando
e . A equação fica .
- Eixo x: Ocorre quando
-
Desenho:
- Trace os pontos de interseção nos eixos
, e . - Desenhe uma forma ovalada que passa por esses pontos, lembrando que a elipsoide é uma superfície lisa e simétrica em relação aos três eixos.
- Trace os pontos de interseção nos eixos
Passo 6
Lembre-se que, ao esboçar, não precisamos ser perfeitamente precisos, mas sim capturar a forma geral da elipsoide. A elipsoide vai parecer como uma esfera “esticada” nas direções onde os semi-eixos são maiores. No nosso caso, estará mais “larga” na direção
, um pouco “alta” na direção
e “estreita” na direção
.
Resposta
A superfície
é uma elipsoide centralizada na origem, com semi-eixos de comprimento 1 na direção
, 3 na direção
e 2 na direção
. Para esboçar, marca os pontos
,
e
nos respectivos eixos e desenhe uma forma ovalada e simétrica que passa por esses pontos, representando a elipsoide.
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Se
é um zero das funções
e
, de ordens
e
, respectivamente, prove que ele é um zero de ordem
da função
. Tem-se que
é, também, um zero da função
, neste caso qual é a sua ordem?
Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Esboce as superfícies