Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente dizer se a integral imprópria é convergente ou divergente. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com funções que tendem ao infinito e entender como o comportamento dessas funções afeta a convergência da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos: . Aqui, é uma função exponencial decrescente quando e é uma função oscilante que varia entre -1 e 1. Queremos saber se, quando integramos essa função de 0 até o infinito, o resultado é um número finito (convergente) ou se ele cresce sem limite (divergente).
Passo 3
Sabemos que a função tende a zero conforme vai para mais infinito, e a função continua oscilando. A combinação dessas duas funções pode resultar em uma integral convergente porque o termo exponencial pode "controlar" a oscilação da função cosseno, fazendo com que a área total sob a curva não seja infinita.
Passo 4
Para integrar , podemos usar a fórmula padrão de integração de exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas:
Essa fórmula nos diz que a integral resulta em um valor finito, desde que . Isso confirma que a integral é convergente.
Resposta
A integral é **convergente**.
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Determine os limites se existirem: