Se
é um zero das funções
e
, de ordens
e
, respectivamente, prove que ele é um zero de ordem
da função
. Tem-se que
é, também, um zero da função
, neste caso qual é a sua ordem?
Passo 1
Vamos lá! O problema diz que
é um zero das funções
e
com ordens
e
, respectivamente. Nosso objetivo é provar que
é um zero da função
com ordem
. Além disso, também precisamos descobrir qual a ordem desse zero para a função
quando
é um zero dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
é um zero de uma função. Se
é um zero de ordem
de
, isso quer dizer que podemos escrever
como:
onde
é uma função analítica e tal que
. O mesmo vale para
:
com
também analítica e
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
e
:
Aqui, somamos as potências de
, pois quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes.
Passo 4
Observamos que
é uma função analítica porque o produto de funções analíticas é analítica. Além disso, em
:
Portanto,
é o fator que determina a ordem do zero em
.
Passo 5
Então, concluímos que
é um zero de ordem
da função
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a função
. Sabemos que
é um zero de ambas as funções
e
, então podemos escrever:
Sem perda de generalidade, suponha que
. Podemos fatorar
:
Passo 7
O termo dentro dos parênteses,
, é analítico e, em
, temos:
Portanto, o menor expoente de
que aparece é
.
Resposta
Assim,
é um zero de ordem
da função
e de ordem
da função
.
Exercícios relacionados
Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Identifique o tipo de singularidade de cada função; e no caso de pólo determine sua ordem e o resíduo da função em cada pólo.
(a) pontos
.
(b) pontos
.
(a)
(b)
Esboce as superfícies
Esboce as superfícies