Se é um zero das funções e , de ordens e , respectivamente, prove que ele é um zero de ordem da função . Tem-se que é, também, um zero da função , neste caso qual é a sua ordem?

Passo 1

Vamos lá! O problema diz que é um zero das funções e com ordens e , respectivamente. Nosso objetivo é provar que é um zero da função com ordem . Além disso, também precisamos descobrir qual a ordem desse zero para a função quando é um zero dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que é um zero de uma função. Se é um zero de ordem de , isso quer dizer que podemos escrever como:
onde é uma função analítica e tal que . O mesmo vale para :
com também analítica e .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar e :
Aqui, somamos as potências de , pois quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes.

Passo 4

Observamos que é uma função analítica porque o produto de funções analíticas é analítica. Além disso, em :
Portanto, é o fator que determina a ordem do zero em .

Passo 5

Então, concluímos que é um zero de ordem da função .

Passo 6

Agora, vamos analisar a função . Sabemos que é um zero de ambas as funções e , então podemos escrever:
Sem perda de generalidade, suponha que . Podemos fatorar :

Passo 7

O termo dentro dos parênteses, , é analítico e, em , temos:
Portanto, o menor expoente de que aparece é .

Resposta

Assim, é um zero de ordem da função e de ordem da função .

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(a) pontos .
(b) pontos .
Esboce as superfícies
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